原創(chuàng)： 丁玖 返樸

編者按

雖然近來陶哲軒和三位物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新公式的事情終究是一場烏龍，但這場小波瀾仍舊激發(fā)了數(shù)學(xué)家的探索。與對這一公式慣有的解讀和詮釋不同，文本記載的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的經(jīng)歷是我們很少能讀到的。作者其間所經(jīng)歷的掙扎、喜悅，可能很多人也都體會(huì)過（比如思考一個(gè)困難的數(shù)學(xué)題成功之后的喜悅），但旁觀者細(xì)細(xì)讀來，仍不失興味和啟發(fā)。

撰文 ∣ 丁玖（美國南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

今年11月15日，應(yīng)我的師兄李弘九 (Noah Rhee) 教授的邀請，我從美國東南部的海濱小城飛到中西部的第七大城，在他任教的密蘇里大學(xué)堪薩斯城校區(qū)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系做了一個(gè)有關(guān)遍歷理論的數(shù)學(xué)演講。我乘坐早晨六點(diǎn)的飛機(jī)，經(jīng)停亞特蘭大機(jī)場，再飛到那里。沒有想到的是，在堪薩斯城度過的周末值得寫這篇感想之作。

早晨5點(diǎn)，我已在起點(diǎn)機(jī)場候機(jī)，便習(xí)慣性地打開了微信，朋友圈里有人轉(zhuǎn)發(fā)的一篇名為《3個(gè)搞物理的顛覆了數(shù)學(xué)常識，數(shù)學(xué)天才陶哲軒：我開始壓根不相信》的文章跳進(jìn)了我的眼框。文章講的是今年夏季發(fā)生的一件事。

8月的一天，一直在加州大學(xué)洛杉磯校區(qū)教書的這名天才數(shù)學(xué)家收到三位陌生物理學(xué)家的一封電郵，稱：

“我們偶然發(fā)現(xiàn)了一個(gè)公式，如果這個(gè)公式是正確的，那么它就會(huì)在線性代數(shù)中一些最基本且重要的對象之間建立一種意想不到的關(guān)系?！?/p>

陶哲軒教授很納悶：這么短、這么簡單的東西，早就應(yīng)該出現(xiàn)在教科書里了。這不可能是真的。但是他卻相信了這個(gè)公式是新的，于是便把它證明了，這對不知證明了多少艱深數(shù)學(xué)定理，被認(rèn)為是當(dāng)今全世界最聰明的他，是手到擒拿的小事一樁。十天后，他們四人就合寫了一篇不到三頁的論文，題目是Eigenvectors from Eigenvalues（來自特征值的特征向量），其中的主要結(jié)果就是這三位物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)的那個(gè)公式，還用了兩種方法證明之。

這個(gè)公式將埃爾米特矩陣的長度為1的特征向量的每一個(gè)分量的模平方，即它與其共軛復(fù)數(shù)之積，用矩陣所有的特征值以及與這個(gè)分量的位置指標(biāo)相對應(yīng)的主子矩陣的所有特征值的某個(gè)簡單代數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，結(jié)果的確漂亮，屬于“美的數(shù)學(xué)”。然而一般的線性代數(shù)教科書中卻沒有它的蹤影，所以四名作者都以為前人把發(fā)現(xiàn)這個(gè)美麗公式的榮譽(yù)留給了他們。

陶哲軒是數(shù)學(xué)界的超級巨星，他關(guān)于數(shù)學(xué)的一舉一動(dòng)都會(huì)引起媒體的騷動(dòng)，就像他的數(shù)學(xué)博客那么引人一樣。所以眾人也以為他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的公式，有人甚至宣稱“這一公式的理論價(jià)值在克萊姆法則之上?！笨巳R姆法則將非奇異線性代數(shù)方程組的解的各分量用一個(gè)商來表示，商的分母總是方程組的系數(shù)行列式，而分子則是用方程組的右端向量取代解分量位置指標(biāo)所確定的系數(shù)矩陣那個(gè)列所得到的新矩陣的行列式。

讀完這篇報(bào)道，我隨手將它轉(zhuǎn)發(fā)到我的南大同學(xué)群。當(dāng)我飛到亞特蘭大機(jī)場后，又在朋友圈里讀到了引起轟動(dòng)的這篇數(shù)學(xué)文章。但讓我一眼看到的是，文章的第一句竟然有個(gè)小小的英文筆誤。

當(dāng)天下午，我的一位大學(xué)同學(xué)就在群里轉(zhuǎn)發(fā)了新消息：這個(gè)結(jié)果不是新的，北大數(shù)學(xué)教授徐樹方在他90年代出版的一本關(guān)于矩陣計(jì)算的書中，關(guān)于實(shí)對稱三對角矩陣，就給出了同樣的結(jié)果。很快，其他關(guān)于同一公式的史實(shí)記錄紛至沓來，一直追溯到1968年美國加州大學(xué)的一位線性代數(shù)教授湯姆生 (R. C. Thompson) 及其弟子，以及其他人發(fā)表的與之相同或等價(jià)的等式。到了第二天，陶哲軒等作者的說明也飄然而至，提供了有關(guān)這個(gè)結(jié)果的部分歷史事實(shí)。在被發(fā)現(xiàn)的文章中，證明公式成立的基本假設(shè)似乎都沒有超出埃爾米特矩陣的范疇。埃爾米特矩陣是其共軛轉(zhuǎn)置等于它自己的一類矩陣。

一個(gè)小小的數(shù)學(xué)浪花，由于沖浪者的鼎鼎大名，通過快速的網(wǎng)絡(luò)傳播，匯成了一股股滔滔巨浪。這就是現(xiàn)代通訊技術(shù)的力量。

下午做完了學(xué)術(shù)報(bào)告，與對我演講論題頗感興趣的系主任交流片刻后，我待在師兄的辦公室等待另有活動(dòng)的他，于是在手機(jī)上開始閱讀陶哲軒他們的文章，很快就讀懂了漂亮而精煉的證明。突然一個(gè)念頭冒出我的腦海：這個(gè)讓媒體活躍的公式對比埃爾米特矩陣更為廣泛的正規(guī)矩陣是否也對？一個(gè)矩陣A如果其共軛轉(zhuǎn)置與它可交換，即AHA = AAH，則被稱為是正規(guī)矩陣 (normal matrix) 。對于埃爾米特矩陣A，由于AHA = A2 = AAH，它也是一個(gè)正規(guī)矩陣。對于酉矩陣U，由于UHU = I = UUH，它同樣也是一個(gè)正規(guī)矩陣，然而許多酉矩陣并非是埃爾米特矩陣，如平面上的旋轉(zhuǎn)矩陣。可見，正規(guī)矩陣類比埃爾米特矩陣類大得多。

我很快發(fā)現(xiàn)，陶哲軒關(guān)于埃爾米特矩陣所證明的公式，可以一字不漏地證明對正規(guī)矩陣也成立，因?yàn)樗鼈兙哂泄阶C明所需的一個(gè)共同性質(zhì)，那就是埃爾米特矩陣及更一般的正規(guī)矩陣A都是可酉對角化的，即存在一個(gè)酉矩陣U，使得UHAU是一個(gè)對角矩陣。

這個(gè)發(fā)現(xiàn)讓我的情緒開始高漲，并激起了強(qiáng)烈的好奇心，想知道對比正規(guī)矩陣更一般的矩陣，“陶氏公式”是否依然有效。因?yàn)榭捎蠈腔@個(gè)性質(zhì)是正規(guī)矩陣的一個(gè)特征，我猜測對于非正規(guī)矩陣，這個(gè)公式不再為真。但是這時(shí)我的師兄回到了辦公室，我們需要出去吃晚飯了，然后去他家——以往我每次來訪，都住他家，就像他每次應(yīng)邀來訪我系做報(bào)告時(shí)住我家一樣。

1986年1月3日是我到達(dá)密歇根州立大學(xué)讀書的第二天，那天上午當(dāng)我第一次去我未來的博士論文導(dǎo)師李天巖教授的辦公室見他時(shí)，在門口先碰到了他來自韓國的博士生李弘九，從此我就和這位師兄建立了長久的友誼。他的名字中有“九”，而我的名“玖”則是大寫的“九”，所以我們生來就有親如弟兄的緣分。他和他的四兄弟中的三個(gè)，都是漢城大學(xué)（現(xiàn)叫首爾大學(xué)）的畢業(yè)生。除他之外，他的二哥也在美國拿到博士學(xué)位，后來成為總統(tǒng)李明博的科學(xué)顧問。在他于1987年拿到博士學(xué)位離開密歇根前，那個(gè)夏天我們兩人專門組成了一個(gè)討論班，輪流報(bào)告著名數(shù)值代數(shù)學(xué)家豪斯霍爾德 (Alston S. Householder) 所作的一本矩陣論名著。三十多年來，我們不僅一直保持親密的朋友關(guān)系，而且在過去的十多年中合寫了不少論文。

這次訪問堪薩斯城的周五，飯店晚飯聊天討論數(shù)學(xué)后，回到他家已經(jīng)9點(diǎn)半，他建議我早點(diǎn)洗漱休息，畢竟那天早晨我3點(diǎn)多就離家開車90分鐘去的機(jī)場。在樓上的客房準(zhǔn)備就寢前，我卻不想睡了，因?yàn)槲壹庇谙胗米约旱恼Z言寫下對正規(guī)矩陣公式的證明。于是我伏案工作了一個(gè)小時(shí)，寫下了這個(gè)證明。

第二天早晨我起得較遲，因?yàn)榍耙惶鞂?shí)在累了。我們決定早飯后去他的辦公室繼續(xù)討論數(shù)學(xué)，包括我已做好的關(guān)于正規(guī)矩陣的公式證明。我的師兄有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)根底，李天巖教授也曾在我面前夸獎(jiǎng)過他的數(shù)學(xué)。盡管他和他當(dāng)護(hù)士的太太將人生的一大塊用于宗教活動(dòng)，希望拯救一些人類分子的心靈，但他同樣一直保持著對數(shù)學(xué)的熱愛和對未知世界的探索激情。這一點(diǎn)他和我的大師兄、北卡州立大學(xué)的朱天照教授完全一樣；朱教授在他的個(gè)人網(wǎng)頁上這樣講：Teaching is my love, Research is my hobby, and Preaching is my calling.（教書是我的所愛，研究是我的嗜好，布道是我的使命。）我對他們兩人的人生取向十分敬佩，可惜我卻做不到所有這些。

我們兩人周六的辦公室討論、思考及數(shù)值試驗(yàn)，富有成效。在多年的合作中，我更多地?fù)?dān)當(dāng)著思想者的角色，常有新奇的想法從腦子里冒出，而他常以實(shí)踐者的面貌出現(xiàn)，在計(jì)算中時(shí)有出乎意料的觀察與發(fā)現(xiàn)。比如在將近十年前，我們在研究用最大熵方法計(jì)算不變密度函數(shù)時(shí)，正因?yàn)樗谟?jì)算的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了關(guān)鍵矩陣的奇異性，促使我想出了將有限元的思想與最大熵原則相結(jié)合的現(xiàn)代最大熵方法，一舉掃除了經(jīng)典最大熵方法的病態(tài)問題，導(dǎo)致了第一個(gè)樣條函數(shù)最大熵算法的誕生。我的師爺約克 (James Yorke) 曾經(jīng)說過：“計(jì)算可能導(dǎo)致偉大發(fā)現(xiàn)?！贝嗽挷患佟＿@一次，師兄的計(jì)算驗(yàn)證也加快了我改進(jìn)埃爾米特矩陣特征向量計(jì)算公式的步伐。

一到辦公室，李弘九就用他熟練掌握的MATLAB隨機(jī)地取了一個(gè)正規(guī)矩陣，一驗(yàn)算就發(fā)現(xiàn)我所證明的公式正確。這里還有一個(gè)插曲。當(dāng)我從洗手間回到他的辦公室，剛剛完成計(jì)算的他對我說：“Jiu，your formula is wrong！(玖，你的公式不對！) ”我一聽大吃一驚，但我不相信這個(gè)斷言，于是請他給我再現(xiàn)計(jì)算過程。到了最后一步的檢驗(yàn)階段，終于發(fā)現(xiàn)了一個(gè)下標(biāo)錯(cuò)誤，改正后電腦的屏幕上立刻出現(xiàn)了令人興奮的等號。

接著，他又隨機(jī)地算了一個(gè)矩陣，果然如我意料之中，公式不對。這樣我們對公式的本質(zhì)有了進(jìn)一步的認(rèn)識。下面的事就是尋找公式的進(jìn)一步的推廣。

陶哲軒證明公式成立的關(guān)鍵假設(shè)是可酉對角化矩陣A具有相互正交的特征向量基底。比可酉對角化矩陣更一般的矩陣是可對角化矩陣。對于矩陣A，如果存在一個(gè)非奇異矩陣S，使得S-1AS是一個(gè)對角矩陣，那么A被稱為是可對角化的。這時(shí)S的所有列均為A的特征向量，并且構(gòu)成酉空間的一個(gè)基底。然而這些特征向量一般不滿足所希望的正交性條件。缺乏特征向量兩兩正交的有用性質(zhì)，我同樣能獲得那個(gè)漂亮的等式嗎？整個(gè)周六，我都在思考這個(gè)問題。

當(dāng)我沉浸于求解一個(gè)問題時(shí)，我的注意力都會(huì)高度集中，這是我在幾十年的學(xué)習(xí)和研究生涯中養(yǎng)成的習(xí)慣。在我以前所寫的文章《數(shù)學(xué)應(yīng)該怎么學(xué)》中，我強(qiáng)調(diào)了“專注”對于研習(xí)高等數(shù)學(xué)的極端重要性，把它列為讀書成功的必要因素。這時(shí)，我再一次得到了專注的眷顧。

我敏銳地注意到，陶哲軒對公式給出的第二個(gè)證明的思路可以繼續(xù)向前推進(jìn)，但是它的敘述方式卻不易找到推廣的新方向。于是，我將矩陣視為有限維線性變換，采用了線性代數(shù)的“函數(shù)論”分析法：兩個(gè)線性變換如果在定義域空間的基底上給出同樣的結(jié)果，那么它們相等。正如林開亮博士在刊登于《數(shù)學(xué)文化》雜志上的一篇書評中所述，這種線性代數(shù)中的幾何論證法，在哈爾莫斯 (Paul Halmos，1916-2006) 的名著《有限維線性空間》及他的徒孫、我的老師阿克斯拉 (Sheldon Axler) 教授的教科書《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》中到處可見。

于是，將陶哲軒的原始證明思想稍加變形，我找到了將正規(guī)矩陣推廣到一類可對角化矩陣的關(guān)鍵想法。借助于正交投影之力，我終于開辟出到達(dá)目標(biāo)的一條通道。我覓得的寶藏是：設(shè)v1，v2，…，vn為矩陣A的線性無關(guān)的特征向量，若第i個(gè)特征向量vi長度為1，并且與其他n-1個(gè)特征向量都直交，則陶哲軒的公式依然為真。

其實(shí)上述的推廣公式僅僅是我對任意可對角化矩陣獲得的一個(gè)等式的推論！它的另一個(gè)推論則給出了n乘n階可對角化矩陣的所有特征值與它的n個(gè)(n-1)乘(n-1)階主子矩陣的所有特征值的一個(gè)等式關(guān)系。雖然我從未見到過這個(gè)看上去也長得不錯(cuò)的公式，但常常孤陋寡聞的我不敢相信我是這個(gè)關(guān)系的第一個(gè)發(fā)現(xiàn)者，或許頂多只是一個(gè)獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)者，就像這一波數(shù)學(xué)新聞的主角那三個(gè)物理學(xué)家和陶哲軒一樣。

當(dāng)我完全寫滿五頁紙的數(shù)學(xué)手稿，其中兩頁竟然是我出發(fā)前打印出的兩張登機(jī)牌的空白反面，并留下更多頁數(shù)的演算草稿時(shí)，我也快要結(jié)束我的堪薩斯城之旅了。這是一次收獲滿滿的旅行，不僅僅是因?yàn)槲覀儙熜值軅z在兩年不見后再次相遇，也不僅僅聽我講座的研究生事后告訴他如何從我的演講中愛上了遍歷理論這門學(xué)科，更令我愉悅的是現(xiàn)代通訊支撐、中國騰訊發(fā)明的微信給了我再次被數(shù)學(xué)所激勵(lì)的動(dòng)力和干勁，讓我過足了充分滿足好奇心的癮！

手稿的其中一頁 | 丁玖拍攝

周日下午，當(dāng)和我一樣因與陶哲軒“共舞”一場而同樣興高采烈的李弘九教授把我送到歸程的機(jī)場后，我候機(jī)時(shí)突然想起了三十年前的一次數(shù)學(xué)之旅，不過它與旅行無關(guān)，更沒有微信的幫助。那年夏季，李天巖教授在教了我們幾個(gè)弟子一門一學(xué)年新課《[0, 1]上的遍歷理論》后，給了我一次練筆的機(jī)會(huì)，幫助他在其于日本京都大學(xué)所作的一系列演講稿的基礎(chǔ)上寫出一本計(jì)劃出版的書稿。當(dāng)我寫到著名的“烏拉姆方法”以及他對一類區(qū)間映射的“烏拉姆猜想”證明這書中最后一章時(shí)，突然好奇心大發(fā)：烏拉姆方法用的是“逐片常數(shù)函數(shù)逼近”，作為計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的本科畢業(yè)生和碩士，為什么不試試逐片線性函數(shù)或更高階的逼近法？于是我拿起紙筆，勁頭十足地演算起來，很快就大功告成，設(shè)計(jì)出兩類新的數(shù)值方法，并證明了收斂性。這項(xiàng)沒有“計(jì)劃經(jīng)濟(jì)”指導(dǎo)的“市場經(jīng)濟(jì)”產(chǎn)品，馬上成就了我的博士論文，盡管之前我已經(jīng)寫出兩篇不同領(lǐng)域的文章。我在南京大學(xué)受過訓(xùn)練的最優(yōu)化理論出身，卻終于讓位于“計(jì)算遍歷理論”這一新興學(xué)科，讓我后來為此忙碌了三十年。

坐在機(jī)場的候機(jī)廳，我也想起另一次數(shù)學(xué)之旅。將近十年前，我讀到一篇楊振寧先生的采訪記，其中有他關(guān)于楊-巴克斯特方程的歷史描繪和“辮子解釋”，非常生動(dòng)。讀后我想，如果將這個(gè)方程的每個(gè)因子視為矩陣，則可定義一類二階矩陣方程，不妨稱之為“楊-巴克斯特矩陣方程”，以示對這兩位老先生的尊敬，就像解非線性代數(shù)方程組的牛頓方法一樣。于是我拉上了我的李師兄，一起踏上好奇這個(gè)非線性矩陣方程解結(jié)構(gòu)的挖掘之旅。我的大學(xué)同學(xué)魏木生率領(lǐng)他的弟子對一般的矩陣找到了這個(gè)方程的所有可交換解。

帶著對中西部平原有點(diǎn)依依不舍的離別心情，帶著對師兄太太為我準(zhǔn)備精美健康早餐的美好回憶，我登上了飛向亞特蘭大的飛機(jī)。在萬米的高空，窗外是一片藍(lán)天，心中是一片陽光。是啊，如果時(shí)光回流，我再年輕三十歲，我還會(huì)有許多可能不讓機(jī)會(huì)流逝，探索數(shù)學(xué)之美，滿足好奇之心，享受發(fā)現(xiàn)之樂。年輕的學(xué)子，你們生活在知識信息大爆炸的時(shí)代，你們有數(shù)不清的機(jī)遇，抓住它們，與之共舞，你的創(chuàng)造之源就會(huì)洶涌噴薄而出，你的智慧之光就會(huì)照亮前方。不管你的發(fā)現(xiàn)是大是小，不管你的結(jié)果是重是輕，最值得你自豪的，最值得你回味的，最值得你沉浸之中而忘掉一切的，最值得你孜孜以求度過時(shí)光的，就是你“吾將上下而求索”的整個(gè)過程。這就是我度過11月15日到17日這個(gè)周末的全部感想。

寫于2019年11月29日星期五

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