原創(chuàng)：吳昊

        

作者 | 吳昊 & 編輯 | 羅數(shù)君

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導(dǎo)語(yǔ)：

有人說(shuō)拋開(kāi)考試，數(shù)學(xué)對(duì)人們的工作與生活作用很小。其實(shí)，數(shù)學(xué)于很多方面都能為人們提供更加嚴(yán)謹(jǐn)、高效的思路。今天我們就以華羅庚優(yōu)選法為例，探討它如何幫助人們做出“最優(yōu)選擇”。

提起華羅庚，家長(zhǎng)們的第一印象大都是他引領(lǐng)的國(guó)內(nèi)奧數(shù)風(fēng)潮：從蘇聯(lián)訪問(wèn)歸來(lái)之后，華羅庚受啟發(fā)于蘇聯(lián)通過(guò)大力普及推廣數(shù)學(xué)競(jìng)賽來(lái)提高人民數(shù)學(xué)水平并從而加速?lài)?guó)家工業(yè)發(fā)展的實(shí)踐，他也開(kāi)始在國(guó)內(nèi)舉辦大型的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，開(kāi)始了“全民奧數(shù)”運(yùn)動(dòng)。但當(dāng)年他之所以家喻戶曉，還是主要因?yàn)樗谌珖?guó)巡講統(tǒng)籌法與優(yōu)選法“雙法“，以期幫助各行業(yè)的工人最迅捷有效地完成他們的工作。

統(tǒng)籌法大家可能都有所了解，就是通過(guò)安排任務(wù)順序和時(shí)間，來(lái)縮短一串任務(wù)的總完成時(shí)間。比如課本里的“燒茶水”問(wèn)題，或是小學(xué)奧數(shù)里經(jīng)典的“烙餡餅”問(wèn)題：如果烙熟餡餅的一面要 1 分鐘，那烙熟兩面就總共需要 2 分鐘?，F(xiàn)在有兩個(gè)爐子，請(qǐng)問(wèn)最快需要幾分鐘，能把三張餅烤熟？但提到優(yōu)選法，很多人可能就一頭霧水了。

圖片來(lái)源：維基百科-華羅庚

其實(shí)，統(tǒng)籌法和優(yōu)選法都屬于運(yùn)籌學(xué)（Operations Research）的范疇。運(yùn)籌學(xué)就是通過(guò)建模尋找復(fù)雜問(wèn)題的近似最優(yōu)解，統(tǒng)籌負(fù)責(zé)安排工序，而優(yōu)選負(fù)責(zé)尋找參數(shù)。比如假設(shè)加工一種零件需要高溫（300度 – 400度），但問(wèn)題在于大家不知道具體多高的溫度能最大化加工效率——高一點(diǎn)的溫度需要更多時(shí)間冷卻，而低一點(diǎn)的溫度需要更長(zhǎng)的加熱時(shí)間。如何找到一個(gè)平衡點(diǎn)呢？

如果實(shí)驗(yàn)材料充足且時(shí)間充裕，那么對(duì)溫度進(jìn)行枚舉是個(gè)不錯(cuò)的選擇。但在現(xiàn)實(shí)中，當(dāng)時(shí)環(huán)境只允許少量的實(shí)驗(yàn)和短暫的時(shí)間，這時(shí)我們就不能隨意選擇溫度，而要保證在數(shù)據(jù)點(diǎn)較少的情況下，無(wú)論最值在哪里，我們估計(jì)的近似值都足夠精確。這種選擇“好”的數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行近似的方法，就是優(yōu)選法。

華羅庚在他當(dāng)時(shí)傳閱甚廣的著作《優(yōu)選法平臺(tái)及其補(bǔ)充》的第一章中，便詳細(xì)介紹了用黃金比例分割取值區(qū)間來(lái)選擇數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法，如圖（圖并非書(shū)中原圖）：

圖片來(lái)源：https://en.wikipedia.org/wiki/Golden-section_search

繼續(xù)上面的例子，我們希望最小化 f 的值，也就是時(shí)間。為了簡(jiǎn)化步驟，我們假設(shè)f只有一個(gè)極小值（就是兩邊的值都比自身大的地方），而且 f 相對(duì)平滑。X 軸代表溫度，縱向軸則代表時(shí)間。為了測(cè)量邊界情況，我們先把 300 和 400 分別代入 x1 和 x3，分別算出 f1 和 f3，并取中間的某一點(diǎn)作為 x2，算出 f2。假設(shè)在這個(gè)例子中，f2 比邊界的兩個(gè)值都要小，那么我們的探索就還沒(méi)有結(jié)束，所以需要在 x2 和 x3 之間繼續(xù)尋找 x4 并算出對(duì)應(yīng)的 f4。

如果 f4 在 a 位置，也就是高于 f2，我們的下一步就應(yīng)該考慮 x1 到 x4 這個(gè)區(qū)間，因?yàn)樵?x4 到 x3 這個(gè)區(qū)間函數(shù)突然大跌到最低點(diǎn)的可能性不大；同理，如果 f4 在 b 位置，也就是低于 f2，我們的下一步就應(yīng)該考慮 x2 到 x3 這個(gè)區(qū)間。不論哪種情況，我們都要根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)點(diǎn)的排布來(lái)估計(jì)整體函數(shù)的趨勢(shì)，因?yàn)楹瘮?shù)在某個(gè)區(qū)間相對(duì)平滑的可能性遠(yuǎn)大于它突然猛烈下跌、再猛烈上漲的可能性。

那么這和黃金比例有什么關(guān)系呢？華羅庚推薦的這種優(yōu)選法有兩個(gè)核心理念：第一，不論上一步的結(jié)果如何，下一步要測(cè)試的取值區(qū)間長(zhǎng)度都應(yīng)該相等；第二，每一步前后的取值區(qū)間長(zhǎng)度比例也應(yīng)該相等。根據(jù)這兩個(gè)理念，我們得到以下兩個(gè)式子：

把第一行式子代入到第二行，就可以得到 b/ ( a + b) = a / b 。簡(jiǎn)單的交叉相乘就可以得到 b^2 =a^2 + ab。如果把 b 設(shè)為 1，就能得到 a^2 + a - 1 = 0 求解可得 a = (-1 +√5) / 2 或 (-1 -√5) / 2。后面的這個(gè)解明顯是負(fù)數(shù)，所以我們只能取前面的這個(gè)解，大約是 0.618，而 a∶ b ≈ 0.618∶ 1 也就是我們常說(shuō)的黃金分割比。

如果現(xiàn)有材料只夠我們做 5 次試驗(yàn)，我們就只需重復(fù)上述步驟 5 次，采集到所有數(shù)據(jù)點(diǎn)中的最小值就是我們所取的近似最小值。是不是很簡(jiǎn)單呢？

當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)中大部分函數(shù)都不會(huì)只有一個(gè)極值，而且也不會(huì)像我們這里假設(shè)的那樣非常平滑。要想在這些復(fù)雜的情況中找到最優(yōu)解的近似值，我們需要更復(fù)雜的計(jì)算和更多的步驟，但最終優(yōu)選法的思路還是不變的：通過(guò)在現(xiàn)有區(qū)間的中間找數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)不斷縮小可能的取值區(qū)間，一直到足夠精確（看不出上次和本次區(qū)別）或者次數(shù)已滿，這時(shí)所采集的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)中的最小值就是我們近似出的最優(yōu)解。

圖片來(lái)源：pixabay

這個(gè)方法在我們?nèi)粘Ｉ钪挟?dāng)然也可以使用，比如空調(diào)設(shè)置的溫度：如果溫度太低會(huì)使用大量的電，產(chǎn)生多余的電費(fèi)；如果溫度不夠低，則仍需通過(guò)其他方式比如買(mǎi)冰鎮(zhèn)汽水來(lái)降暑。以周為單位做實(shí)驗(yàn)的話，可以先設(shè)置一個(gè)合理區(qū)間，比如 16 到 24 攝氏度，然后每周根據(jù)上述步驟來(lái)采集新的數(shù)據(jù)點(diǎn)，在暑假過(guò)半時(shí)取所有點(diǎn)中花費(fèi)最少錢(qián)的溫度，來(lái)近似最優(yōu)解。

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閱讀原文（“羅博深數(shù)學(xué)”公眾號(hào)：LuoboshenMath）