·尋找非周期性平鋪方案和相關(guān)瓷磚的過(guò)程，如同打碎一個(gè)花瓶然后再?gòu)?fù)原它。不過(guò)，研究者希望花瓶碎裂后形成的是均勻的碎片，且破碎的紋理是“非周期性的”。這樣的瓷磚即使鋪滿全世界，拼接圖案也不會(huì)重復(fù)。

華裔數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主、美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系教授陶哲軒（Terence Tao）

能否尋找到一塊這樣的瓷磚，即使用它鋪滿全世界，其拼接圖案也永不重復(fù)？

近日，數(shù)學(xué)界的“莫扎特”、華裔數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主、美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系教授陶哲軒（Terence Tao）在個(gè)人博客上宣布，推翻了“周期性平鋪猜想”。

他們?cè)诔呔S空間中找到一塊這樣的“瓷磚”。

預(yù)印本網(wǎng)站arXiv顯示，陶哲軒與合作者合著的相關(guān)論文于2022年11月29日凌晨上傳。

但實(shí)際上，陶哲軒提前了兩個(gè)多月就在其博客上宣布了上述消息；并在9月18日凌晨，他們向arXiv網(wǎng)站提交了一篇縮略的“公告”論文——announcement，全文共13頁(yè)。

而完整版論文共48頁(yè)。論文標(biāo)題是《周期性平鋪猜想的一個(gè)反例》（A counterexample to the periodic tiling conjecture）。

該論文的合著者是原美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系Hedrick助理教授、現(xiàn)美國(guó)普林斯頓高等研究院數(shù)學(xué)學(xué)院成員雷切爾·格林菲爾德（Rachel Greenfeld）。她是陶哲軒的博士后。

諾貝爾獎(jiǎng)和永不重復(fù)的拼圖 

什么是周期性平鋪猜想？

設(shè)想用相同大小的正方形瓷磚，去鋪滿一個(gè)方方正正房間的地面，這似乎難度不大。人們只要像“復(fù)制黏貼”一樣，不留空隙地將一塊塊大小合適的瓷磚平鋪下去就行。在這樣的地板上，圖案的周期性顯而易見(jiàn)：如果你將部分圖案平移到另一個(gè)位置，就跟沒(méi)有移動(dòng)過(guò)一樣。

這或許是最容易的“施工方案”之一，被稱(chēng)為周期性平鋪。

周期性平鋪和非周期性平鋪產(chǎn)生的不同效果。截圖來(lái)自《Aperiodic Texture Mapping》

六年前，2016年2月18日，來(lái)自印度孟買(mǎi)塔塔基礎(chǔ)研究所數(shù)學(xué)院的數(shù)學(xué)家悉達(dá)多·巴塔查里亞（Siddhartha Bhattacharya）在arXiv網(wǎng)站上傳預(yù)印本論文“Periodicity and decidability of tilings of ?^2”，宣布其在二維平面上證明了“周期平鋪猜想”——通過(guò)平移，單個(gè)瓷磚在平面上只能進(jìn)行周期性平鋪，無(wú)法進(jìn)行非周期性平鋪。

數(shù)學(xué)家們推測(cè)，在二維以上更高維度上，也不存在用同一種就實(shí)現(xiàn)非周期性平鋪的瓷磚。這一假設(shè)被稱(chēng)為“周期性平鋪猜想”。

換句話說(shuō)，“周期性平鋪猜想”斷言，如果只能以平移的方式平鋪或填充，那么在任意維度上（二維及以上），不存在一塊能以非周期性的方式鋪滿整個(gè)表面或填充整個(gè)空間的特殊瓷磚。即使設(shè)計(jì)出來(lái)這樣一塊瓷磚，那么它也只能以周期性的方式平鋪或填滿相應(yīng)的空間。

但“周期性平鋪猜想”似乎只在二維平面上成立。

彭羅斯瓷磚樣式之一。截圖自Eureka 39(1978) 16-32

早在六十年前，1960年左右，在牛津大學(xué)任教的華裔數(shù)學(xué)家王浩在對(duì)美國(guó)新澤西州的貝爾電話實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行學(xué)術(shù)訪問(wèn)期間，研究了周期性平鋪問(wèn)題，并提出“王磚”（或王氏磚、王浩瓷磚，aka Wang squares）模型。

部分王浩瓷磚。來(lái)自Parcly Taxel 

四年后，一種似乎更高級(jí)的方案出現(xiàn)了：非周期性平鋪。它雖然也是很多塊瓷磚拼接在一起，密密麻麻地鋪滿整個(gè)地板，但其拼接的圖案永不重復(fù)，即使鋪滿整個(gè)世界也不重復(fù)。1964年，王浩的學(xué)生Robert Berger提出最早的非周期性平鋪方案，需要20426塊瓷磚組合。

用“王磚”進(jìn)行的一種非周期性平鋪。來(lái)自Claudio Rocchini

隨后，英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家、牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系名譽(yù)教授羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）把需要的瓷磚組合減少到5種，最后只用2種形狀的瓷磚組合，比如一大一小兩個(gè)菱形，就可以在二維平面上實(shí)現(xiàn)非周期性平鋪。這種瓷磚被稱(chēng)為彭羅斯瓷磚。它成為數(shù)學(xué)藝術(shù)的象征之一，被鋪在牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系等知名大學(xué)相關(guān)建筑物的地板上。相關(guān)平鋪樣式被稱(chēng)為彭羅斯平鋪，或彭羅斯鑲嵌、彭羅斯密鋪、彭羅斯拼圖、彭羅斯幾何拼圖等。

平面上的非周期圖案具有一個(gè)奇特的性質(zhì)，排布位置的信息似乎能夠通過(guò)某種方式跨過(guò)很大距離進(jìn)行傳遞，防止數(shù)百（甚至數(shù)千、數(shù)百萬(wàn)）塊之外的瓷磚出現(xiàn)某種排列類(lèi)型。阿肯色大學(xué)助理教授埃蒙德·哈里斯（Edmund Harriss）的博士論文主題就是彭羅斯貼磚。他說(shuō)：“局部約束鬼使神差地拓展為全局約束?！?/p>

而彭羅斯瓷磚不只在數(shù)學(xué)界很有名，在建筑裝潢領(lǐng)域甚至材料科學(xué)領(lǐng)域也成功圈粉，給人們帶來(lái)新的啟示。

彭羅斯瓷磚或拼圖的樣式之一。來(lái)自Taktaal 

1982年，在美國(guó)正進(jìn)行學(xué)術(shù)休假的以色列材料科學(xué)家丹·謝特曼（Dan Shechtman），在實(shí)驗(yàn)室里觀察到合金的奇特衍射圖樣，不符合此前人們關(guān)于晶體的印象，缺乏標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)稱(chēng)。它們?cè)优帕械臉幼?，跟彭羅斯地磚拼接的圖案一樣，是非重復(fù)、非周期性的。他后來(lái)稱(chēng)之為“準(zhǔn)晶體”（quasicrystal）。

丹·謝特曼拍攝到的電子衍射圖片。截圖自Phys. Rev. Lett. Vol. 53(20),1984

丹·謝特曼的論文和他的發(fā)現(xiàn)引起了極大的爭(zhēng)議和攻擊。直到20多年后，2011年，他因“發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體”，被授予諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。

準(zhǔn)晶體的電子衍射圖片。來(lái)自nobelprize.org

此外，彭羅斯也是諾貝爾獎(jiǎng)得主之一。

1965年1月18日，彭羅斯在《物理評(píng)論快報(bào)》（Physical Review Letters）發(fā)表論文，闡述了彭羅斯奇點(diǎn)定理。斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）與彭羅斯一起研究奇點(diǎn)后，以彭羅斯定理顛覆了有關(guān)宇宙起源的理論。奇點(diǎn)后來(lái)被人們熟知，稱(chēng)為“黑洞”。

2020年，89歲的彭羅斯被授予諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，表彰他“發(fā)現(xiàn)黑洞的形成是對(duì)廣義相對(duì)論的有力預(yù)測(cè)”。他獨(dú)享一半獎(jiǎng)金，與“在銀河系的中心發(fā)現(xiàn)了一個(gè)超大質(zhì)量致密天體”的德國(guó)科學(xué)家賴(lài)因哈德·根策爾（Reinhard Genzel）和美國(guó)科學(xué)家安德烈婭·蓋茲（Andrea Ghez）分享了2020年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

但問(wèn)題是，一直沒(méi)人用一塊瓷磚完成非周期平鋪“游戲”。直到最近，陶哲軒和合作者在超高維空間找到一塊這樣奇特的“瓷磚”。

用數(shù)獨(dú)、俄羅斯方塊游戲?qū)ふ乙粋€(gè)反例

尋找非周期性平鋪方案和相關(guān)瓷磚的過(guò)程，如同打碎一個(gè)花瓶然后再?gòu)?fù)原它。不過(guò)，研究者希望花瓶碎裂后形成的是均勻的碎片，且破碎的紋理是“非周期性的”。

從在二維平面“拼圖”到更高維空間里“堆積木”，陶哲軒希望找到一塊能夠?qū)崿F(xiàn)非周期性地堆疊的單一“瓷磚”。

立方形密鋪。來(lái)自Tomruen 

在解釋其最新證明策略和方法的博客文章中，陶哲軒提到數(shù)獨(dú)和俄羅斯方塊游戲，還有電腦編程。

在印度數(shù)學(xué)家悉達(dá)多·巴塔查里亞證明“周期平鋪猜想”在二維平面上成立三年后，2019年，格林菲爾德以博士后身份來(lái)到加州大學(xué)洛杉磯分校。隨后，她和陶哲軒用不同于悉達(dá)多·巴塔查里亞的另一種方法，再次證明了二維平面中的“周期平鋪猜想”。但是，當(dāng)他們想推進(jìn)到在三維空間中也證明這一猜想時(shí)，碰壁了。

陶哲軒說(shuō)，無(wú)法在更高維度上證明這個(gè)猜想成立也許是有原因的，應(yīng)該開(kāi)始尋找反例。

2021年8月，他們第一次接近目標(biāo)：他們?cè)诔呔S空間找到了兩塊可以實(shí)現(xiàn)非周期性填充的瓷磚，但不是一塊。

2021年8月17日，格林菲爾德在arXiv網(wǎng)站上傳她和陶哲軒共同署名的論文，標(biāo)題是“Undecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile”。六天后，她上傳了更新版。

“2非常接近了，但還不夠?！?格林菲爾德說(shuō)。

像“俄羅斯方塊游戲”一樣消行。截圖自陶哲軒2022年9月19日的博客文章

2022年9月19日，陶哲軒在其博客文章中表示，“格林菲爾德和我剛剛將我們的公告——‘周期性平鋪猜想的反例’上傳到 arXiv。這是我們目前正在撰寫(xiě)（并希望在幾周內(nèi)發(fā)布）的一篇更長(zhǎng)的論文的公告。其中，我們推翻了 Grünbaum-Shephard 和 Lagarias-Wang 的周期性平鋪猜想?！?/p>

在上述博客文章中，陶哲軒寫(xiě)道，他們創(chuàng)建了一種“平鋪語(yǔ)言”（“tiling language”），使用平鋪方程組來(lái)描述非周期函數(shù)。“這個(gè)證明，讓人強(qiáng)烈地聯(lián)想到解決數(shù)獨(dú)謎題所需的推理類(lèi)型，因此，我們?cè)谡擖c(diǎn)中采用了一些類(lèi)似數(shù)獨(dú)的術(shù)語(yǔ)來(lái)提供直覺(jué)和視覺(jué)效果。一個(gè)關(guān)鍵步驟是，對(duì)拼圖進(jìn)行剪切變換……然后執(zhí)行消除常量行的‘俄羅斯方塊’移動(dòng)以得出次級(jí)數(shù)獨(dú)謎題，然后依次分析該謎題。正是這個(gè)過(guò)程的迭代最終生成了非周期性p-adic結(jié)構(gòu)?！?/p>

在其兩個(gè)月后、11月29日的博客文章中，陶哲軒寫(xiě)道：“格林菲爾德和我剛剛將論文上傳到 arXiv。這是我?guī)讉€(gè)月前在這個(gè)博客上公布的結(jié)果的完整版本……這篇論文完成的時(shí)間比預(yù)期的要長(zhǎng)一些，這是由于我們?cè)诎l(fā)布公告時(shí)沒(méi)有意識(shí)到的一個(gè)技術(shù)問(wèn)題需要個(gè)解決方法?！?/p>

陶哲軒進(jìn)一步解釋說(shuō)，如公告中所述，最初的策略是構(gòu)建一種“平鋪語(yǔ)言”——一種能夠用來(lái)編碼“P進(jìn)數(shù)數(shù)獨(dú)謎題”（P-adic Sudoku puzzle）的語(yǔ)言；然后證明如果P是一個(gè)足夠大的素?cái)?shù)，那么后一種類(lèi)型的謎題只有非周期性的解決方案?！笆聦?shí)證明，該策略的后半部分成功了?！薄霸诰幊踢^(guò)程中，我們還發(fā)現(xiàn)，一旦引入‘可表達(dá)屬性’和‘弱表達(dá)屬性’兩個(gè)新定義，證明的編碼部分將變得更加模塊化和概念化?！?/p>

陶哲軒和格林菲爾德將他們的方程式系統(tǒng)看作一個(gè)計(jì)算機(jī)程序：每一行代碼或方程式都是一個(gè)命令，這些命令組合起來(lái)可以生成一個(gè)實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)的程序。

最終，他們?cè)谝粋€(gè)非常高維度的空間中，尚未被詳細(xì)計(jì)算，但大約2^100^100維里，找到一塊目標(biāo)“瓷磚”——一塊非常復(fù)雜、彎彎曲曲、充滿孔洞的“瓷磚”。

此外，陶哲軒表示，使用他們最新創(chuàng)造的“語(yǔ)言”應(yīng)該能創(chuàng)造一個(gè)無(wú)法判定的謎題?！埃ū热纾┛赡艽嬖谝恍┐纱u，我們永遠(yuǎn)也無(wú)法證明，它是否能鋪滿它所在的空間?！?/p>

既無(wú)法證明也無(wú)法反駁，數(shù)學(xué)中充滿了這樣的“不可判定”（undecidable）的陳述。為了證明一個(gè)陳述是不可判定的，數(shù)學(xué)家通常證明它等價(jià)于另一個(gè)已知不可判定的問(wèn)題。所以，如果平鋪問(wèn)題被證明是不可判定的，它將可以作為新工具，證明更多其他問(wèn)題的不可判定性。

格林菲爾德的簡(jiǎn)歷顯示，其研究課題“平移平鋪和正交系統(tǒng)指數(shù)”（translational tiling and orthogonal systems exponentials）獲得了美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)（NSF）11.7056萬(wàn)的資助，編號(hào)是DMS-2242871，資助期限是2022年到2025年。

參考資料：

1.https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/#newsletter

2.https://nautil.us/impossible-cookware-and-other-triumphs-of-the-penrose-tile-rp-234895/?_sp=1048d065-5002-434f-85c5-fa868cbccae2.1671370700212

3.https://huanqiukexue.com/a/qianyan/cailiao__huaxue/2017/0527/27301.html

4.https://terrytao.wordpress.com/2022/09/19/a-counterexample-to-the-periodic-tiling-conjecture/

5.https://arxiv.org/abs/1602.05738