原創(chuàng) 陳關(guān)榮 集智俱樂(lè)部

導(dǎo)語(yǔ)

本文介紹“混沌”的概念并回顧它的歷史、縱觀它的發(fā)展以及展望它的前景。混沌的概念可以追溯到遠(yuǎn)古，而現(xiàn)代科學(xué)中的混沌理論則是從上世紀(jì)六十年代氣象學(xué)家愛(ài)德華·洛倫茨在天氣預(yù)測(cè)研究中發(fā)現(xiàn)“蝴蝶效應(yīng)”開始的。它經(jīng)歷了許多科學(xué)家特別是數(shù)學(xué)家李天巖和詹姆斯·約克的“周期三意味著混沌”理論研究和生物學(xué)家羅伯特·梅對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的復(fù)雜性研究。今天，混沌的科學(xué)理論日趨成熟，并在信息隱藏和流體混合等工程技術(shù)中顯示出有特色的應(yīng)用潛力。

陳關(guān)榮 | 作者

鄧一雪 | 編輯

大家都知道“混沌”這個(gè)名詞，在生活中它指雜亂無(wú)章的行為和現(xiàn)象，但在科學(xué)里它是一個(gè)非常不一般而且含義很深刻的術(shù)語(yǔ)。

“混沌”，從字面上不好揣測(cè)其科學(xué)含義，但換一個(gè)說(shuō)法“蝴蝶效應(yīng)”就容易理解多了，說(shuō)的是一只蝴蝶拍一下翅膀可能會(huì)引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。

真有那么神奇嗎？當(dāng)然不。但這個(gè)比喻的寓意是清晰的：一個(gè)微小的初始改變可能會(huì)引起巨大的后果。這方面大家經(jīng)驗(yàn)就多了，不是有“差若毫厘，謬以千里”的說(shuō)法么？那早已是孔子年代《禮記·經(jīng)解》里的《易》中說(shuō)的了，彰顯中華民族文化哲理的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)、博大精深。

不過(guò)，“蝴蝶效應(yīng)”來(lái)到現(xiàn)代科學(xué)領(lǐng)域，卻只是半個(gè)世紀(jì)之前的事。

一、“混沌”科學(xué)的發(fā)端

今天，“蝴蝶效應(yīng)”被人們當(dāng)作成語(yǔ)使用。它來(lái)自已故麻省理工學(xué)院（MIT）氣象學(xué)教授愛(ài)德華·洛倫茨（Edward Norton Lorenz，1917 年5 月23 日— 2008 年4 月16 日，圖1）。

圖1 洛倫茨（ Edward N. Lorenz）

故事發(fā)生在1963年。一天，洛倫茨教授如常來(lái)到了辦公室，用他推導(dǎo)出來(lái)的數(shù)學(xué)方程組做天氣預(yù)報(bào)的數(shù)值仿真。當(dāng)時(shí)，他計(jì)劃把昨天的仿真重復(fù)一遍，以保證計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確無(wú)誤。但是，新的仿真結(jié)果讓他大吃一驚，畫出來(lái)的曲線與昨天的記錄大相徑庭：兩條曲線從相同的初始點(diǎn)出發(fā)，在起初幾周時(shí)間點(diǎn)上的預(yù)報(bào)相互吻合得很好，但隨后兩者迅速分離，大約兩個(gè)月后便變得毫不相關(guān)了。咦，數(shù)學(xué)計(jì)算公式寫錯(cuò)了？計(jì)算機(jī)程序抄錯(cuò)了？計(jì)算機(jī)壞了？他反復(fù)檢查后，發(fā)現(xiàn)這些都沒(méi)有任何錯(cuò)謬。奇怪呀，這可讓他百思莫解了。

洛倫茨是個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的科學(xué)家。他反復(fù)核查、尋蹤覓跡，最后發(fā)現(xiàn)了兩次仿真過(guò)程之間的一個(gè)微小差異。當(dāng)年的計(jì)算機(jī)運(yùn)算精確度只到達(dá)小數(shù)點(diǎn)后6 位數(shù)字，因此他在昨天的計(jì)算中輸入了初始值0.506127。但今天他偷懶，輸入0.506就算了。這不到千分之一的四舍五入沒(méi)啥事吧？不！現(xiàn)在他發(fā)現(xiàn)自己錯(cuò)了，這影響其實(shí)很大。于是，在隨后的幾天里，洛倫茨一再驗(yàn)算了使用多種略微不同初始值的仿真，終于證實(shí)了他悟出的道理：由于這個(gè)天氣預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型對(duì)初始值具有高度敏感性，一個(gè)微小的初始誤差在反復(fù)迭代計(jì)算之后釀成巨大的結(jié)果差異，導(dǎo)致了該模型估算未來(lái)天氣行為的不可預(yù)測(cè)性。圖2解釋了洛倫茨當(dāng)時(shí)的仿真結(jié)果：兩條起始鄰近的曲線開始時(shí)并排向前移動(dòng)，但慢慢便分道揚(yáng)鑣了。

圖2 紅色和藍(lán)色是洛倫茨天氣數(shù)學(xué)模型兩個(gè)不同解的軌跡，黑點(diǎn)為初始值。

洛倫茨以此為題材發(fā)表了一篇論文，指出：“兩個(gè)狀態(tài)之間不被察覺(jué)的微小差別可能最后演化為巨大的不同……因此，如果在觀察當(dāng)前狀態(tài)時(shí)不管有什么樣的誤差——在任何真實(shí)系統(tǒng)中這些誤差是不可避免的——那么對(duì)于一個(gè)不太久遠(yuǎn)的未來(lái)瞬間狀態(tài)做出任何可接受的預(yù)測(cè)都將是不可能的……非常長(zhǎng)期的準(zhǔn)確天氣預(yù)報(bào)看來(lái)并不存在?！碑?dāng)年洛倫茨估算，準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)最多在兩周時(shí)間之內(nèi)還是可以做到的，再長(zhǎng)時(shí)間就不保證了。今天，由于有高速計(jì)算機(jī)和大數(shù)據(jù)支持，這個(gè)時(shí)間段延長(zhǎng)了，不過(guò)也達(dá)不到三周。這方面大家都有體會(huì)：誰(shuí)能說(shuō)得清，明年的今天會(huì)是什么樣的天氣呢。

后來(lái)，為了向公眾解釋這種特別的現(xiàn)象，洛倫茨在1972 年把一篇科普文章取題為：“在巴西的一只蝴蝶拍打一下翅膀會(huì)在得克薩斯州引發(fā)一場(chǎng)龍卷風(fēng)嗎？”這里題意自明。從此之后，在各種各樣的科學(xué)文獻(xiàn)、文學(xué)作品和人們?nèi)粘Ｉ罾锉愠霈F(xiàn)了一個(gè)新成語(yǔ)：“蝴蝶效應(yīng)”。與之相應(yīng)的一套數(shù)學(xué)理論和物理解釋便形成了今天大家看到和聽(tīng)到的“混沌理論”，它描述了各種自然和人造系統(tǒng)中的“蝴蝶效應(yīng)”即對(duì)初始條件高度敏感的動(dòng)態(tài)特性，以及由此衍生出來(lái)的許許多多生動(dòng)復(fù)雜的變化和現(xiàn)象。

二、“混沌”科學(xué)的發(fā)展

洛倫茨關(guān)于大氣變化的數(shù)學(xué)模型是由微分方程來(lái)描寫的，在數(shù)學(xué)上叫做“連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)”:

其中x, y, z是變量。這個(gè)特別的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)就是上面介紹洛倫茨做仿真時(shí)使用的數(shù)學(xué)模型，后人稱之為洛倫茨系統(tǒng)。相應(yīng)地，也有“離散時(shí)間系統(tǒng)”，由差分方程來(lái)描述。這些方程都是非線性的。

1975年，馬里蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)家李天巖（Tien-Yien Li，1945-2020）和詹姆斯·約克（James A. Yorke，1941-）發(fā)表了一篇離散時(shí)間系統(tǒng)的論文，題為“周期三意味著混沌”，首次使用“混沌”這個(gè)名詞并以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證來(lái)描述了“蝴蝶效應(yīng)”。接著，1976年，他們的好友、普林斯頓大學(xué)的生物學(xué)家羅伯特·梅（Robert M. May, 1936-2020）在《自然》雜志上發(fā)表了一篇論文，作為對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的刻畫給出了一個(gè)貌似簡(jiǎn)單但行為復(fù)雜的離散混沌系統(tǒng)的例子，由名為 Logistic系統(tǒng)的差分方程模型來(lái)描述。

圖3 約克-李天巖-梅（James A. Yorke，Tien-Yien Li，Robert M. May）

大家在中學(xué)都學(xué)過(guò)代數(shù)二項(xiàng)式，例如4x(1-x)，其中x是個(gè)變量，它導(dǎo)出了離散差分方程x[k+1]=4x[k](1-x[k])，其中x[k]是x在離散時(shí)間點(diǎn)k上的取值，k=0, 1, 2…。這就是羅伯特·梅的例子，它能夠清晰地表達(dá)“蝴蝶效應(yīng)”，如圖4所示。

圖4 Logistic差分方程對(duì)初始條件的高度敏感性

這個(gè)Logistic差分方程描述了許多離散混沌現(xiàn)象，其中最為有趣的就是，它有周期為3的解，從而如李天巖-約克的“周期三意味著混沌”論文所證，還有無(wú)窮多個(gè)各種周期的解，因此它的行為表現(xiàn)得很“混沌”。簡(jiǎn)而言之，有“三”就會(huì)有“全部”。

大家也許會(huì)想起中國(guó)的老子（約公元前600-470年）在《道德經(jīng)》四十二章中說(shuō)的：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”，指從“無(wú)名道化”(零)開始，先有“混沌元?dú)狻?一)，然后有“陰陽(yáng)二氣”(二)，接著這“陰陽(yáng)之和”(三)，便生出了“世間萬(wàn)物”。兩者應(yīng)該只是巧合，不過(guò)其中的哲理則是相通的。

至此，可以歸納一下“混沌”的概念和含義。粗略地說(shuō)，“混沌”是很多自然和社會(huì)系統(tǒng)的一種不尋常的性態(tài)和特征，它最基本的特性是對(duì)初始條件的高度敏感性，即“蝴蝶效應(yīng)”。此外，它表現(xiàn)為局部活躍（不收斂）、全局有界（不發(fā)散）、非嚴(yán)格周期（無(wú)窮多個(gè)周期組份的復(fù)合）的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。具體一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，混沌系統(tǒng)是局部不穩(wěn)定的，即不會(huì)收斂到一個(gè)地方然后就不動(dòng)了；它又是全局穩(wěn)定的，即不會(huì)發(fā)散到無(wú)窮遠(yuǎn)處而消失了；它還在近乎周期卻不是嚴(yán)格周期地變化，猶如一年四季周而復(fù)始但每年都會(huì)有一些差異那樣?；煦缧螒B(tài)的本質(zhì)是確定性的但卻貌似隨機(jī)，就象天氣預(yù)報(bào)那樣是長(zhǎng)時(shí)間不可預(yù)測(cè)的。

三、“混沌”科學(xué)的應(yīng)用

科學(xué)的任務(wù)是解釋自然世界，技術(shù)的目標(biāo)才是為人類社會(huì)服務(wù)?！盎煦纭敝饕且婚T科學(xué)，揭示自然界和人類社會(huì)中的某些內(nèi)在規(guī)律，讓我們更加明白自身之外的事物發(fā)展變化的原因和過(guò)程，進(jìn)而幫助我們?nèi)グl(fā)展先進(jìn)技術(shù)以改良世界為人類服務(wù)。和其它學(xué)科一樣，“混沌”理論在演進(jìn)的過(guò)程中也逐步被利用來(lái)發(fā)展一些有用的技術(shù)。

比較容易理解的是流體混合和信息隱藏。不妨想象一下，要把兩種不同的溶液充分均勻地混合在一起，“混沌”的攪拌效果總比均勻的攪拌要好，大家在日常生活中攪拌飲料就很有體會(huì)。至于信息隱藏，圖5展示了一個(gè)簡(jiǎn)單例子，左邊李兆良先生的書法圖片通過(guò)“混沌”技術(shù)打亂了以后成為右邊的樣子，原來(lái)的信息就很難辨認(rèn)了。主人自己知道是怎樣處理的，當(dāng)然可以還原，但其他人就無(wú)法把原圖重構(gòu)出來(lái)。

圖5 “混沌”技術(shù)處理前后的圖片

此外，“混沌”理論在電子設(shè)備、機(jī)械振動(dòng)、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、生物醫(yī)學(xué)等方面都還有一些應(yīng)用，并且仍在發(fā)展過(guò)程之中。

四、“混沌”科學(xué)的遠(yuǎn)景

“混沌”科學(xué)的遠(yuǎn)景就像它本身一樣“長(zhǎng)時(shí)間不可預(yù)測(cè)”。由于它特有的復(fù)雜性，對(duì)它的理論研究還需長(zhǎng)時(shí)間的深入和推廣，對(duì)它的應(yīng)用研究還需要更多的嘗試和開拓?？梢詷?lè)觀期待的是，混沌科學(xué)作為復(fù)雜性科學(xué)的一個(gè)重要分支和組成部分將會(huì)為科學(xué)與技術(shù)的總體發(fā)展作出自身不可或缺的貢獻(xiàn)。

原標(biāo)題：《這門復(fù)雜性科學(xué)有個(gè)別致的名稱——混沌丨陳關(guān)榮》

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