《歡樂(lè)數(shù)學(xué)之瘋狂微積分》，天津科學(xué)技術(shù)出版社2022年10月版，[美]本·奧爾林（BenOrlin）著，唐燕池譯。

 叮，又到了思維實(shí)驗(yàn)的時(shí)間。想象一下這個(gè)畫(huà)面：我正懶洋洋地坐在樹(shù)樁上，看著一束光以每秒3億米的恒定速度劃過(guò)。與此同時(shí)，你乘著星艦a以驚人的速度追逐那束光，以每秒2億米的速度從我身邊經(jīng)過(guò)。

那么，光是先遠(yuǎn)離我還是先遠(yuǎn)離你呢？

我們都知道，光速是一個(gè)恒定的常數(shù)。它始終是每秒3億米a，不會(huì)為任何人改變，現(xiàn)在不會(huì)改變——即使在面對(duì)速度超快的你時(shí)，也不會(huì)改變。相反，在這個(gè)過(guò)程中，改變的是一些更柔軟、更有韌性的東西，也就是空間和時(shí)間的結(jié)構(gòu)。從我坐著的樹(shù)樁的角度來(lái)看，光甩開(kāi)你3億米需要3秒鐘。從你在“進(jìn)取號(hào)”星艦b上的角度看，光甩開(kāi)你3億米只需要1秒鐘。這樣一來(lái)，我的懷表走的速度就比你快了2倍。

是的，運(yùn)動(dòng)可以重塑時(shí)間。

那你就為下一步做好了準(zhǔn)備：物質(zhì)也能重塑空間。

例如，太陽(yáng)并不像盒子里的保齡球那樣靜止不動(dòng)，而是像床墊上的保齡球，壓在織物上，扭曲了周?chē)臅r(shí)空區(qū)域。因此，當(dāng)一顆行星繞太陽(yáng)運(yùn)行，或一個(gè)蘋(píng)果朝地球的方向墜落時(shí)，它們并不會(huì)陷入某種牛頓引力無(wú)法解釋的痛苦之中，只是在沿著阻力最小的路徑穿過(guò)一個(gè)彎曲的四維空間而已。

物理學(xué)家約翰·惠勒（JohnWheeler）說(shuō)：“物質(zhì)告訴時(shí)空該如何彎曲，而彎曲的空間則告訴物質(zhì)該如何運(yùn)動(dòng)。”

物理學(xué)家卡洛·羅韋利（Carlo Rovelli）寫(xiě)道：“盡管這個(gè)方程寫(xiě)出來(lái)不過(guò)半行，但在這個(gè)等式中，存在著一個(gè)豐富多彩的宇宙?！币?chǎng)方程預(yù)測(cè)光會(huì)在重的物體周?chē)鷱澢?；相比谷底的時(shí)間，山頂?shù)臅r(shí)間會(huì)膨脹；引力波可以在宇宙中傳播，大恒星會(huì)坍縮成奇點(diǎn)（后來(lái)被稱(chēng)為“黑洞”）……“一連串夢(mèng)幻般的預(yù)言，如同一個(gè)瘋子的囈語(yǔ)，”羅韋利寫(xiě)道，“但最后都被證明了是真的?！?/p>

然而，即便這個(gè)等式就像從魔法棒中冒出來(lái)的守護(hù)神一樣發(fā)出了新的預(yù)言，愛(ài)因斯坦仍然不太滿(mǎn)意。

誠(chéng)然，廣義相對(duì)論可以描述繞著軌道運(yùn)行的行星和彎曲的光子，但這些都是有限的有界系統(tǒng)，只是宇宙的一部分。愛(ài)因斯坦在給同事的信中寫(xiě)道：“相對(duì)論的概念是否可以一以貫之，還是會(huì)導(dǎo)致矛盾？這個(gè)問(wèn)題急需解決?！彼F(xiàn)在想要的是終極大獎(jiǎng)，是所有狂歡節(jié)上那只最大的泰迪熊。

那么，廣義相對(duì)論真的能描述整個(gè)宇宙嗎？

事實(shí)上，它確實(shí)涉及了積分問(wèn)題；盡管愛(ài)因斯坦在1917年發(fā)表的著名論文中采用的是一個(gè)不同的解法，但在1918年，他發(fā)現(xiàn)自己實(shí)際上還是在求積分。愛(ài)因斯坦更喜歡這個(gè)求積分的新公式，他寫(xiě)道：“新的公式有一個(gè)巨大的優(yōu)勢(shì)，那就是……量作為積分常數(shù)出現(xiàn)在了基本方程中?！?/p>

這里的“量”指的是什么呢？別著急，我們晚些時(shí)候會(huì)說(shuō)到?，F(xiàn)在先聊聊，積分常數(shù)是什么。

這個(gè)常數(shù)從何而來(lái)？正如我們?cè)谇拔闹杏懻撨^(guò)的，積分和微分是互逆的運(yùn)算過(guò)程。求積分時(shí)，我們會(huì)看著那個(gè)函數(shù)，然后問(wèn)自己：它的導(dǎo)數(shù)是什么？

假設(shè)一個(gè)跑步者以每小時(shí)7英里的穩(wěn)定速度行進(jìn)。速度圖是這樣的：

在這里，“C”就是一個(gè)積分常數(shù)，是“任何數(shù)字”的縮寫(xiě)。只需一筆，它就能把一條曲線變成無(wú)窮大的家族。不過(guò)，也正是因?yàn)檫@樣的簡(jiǎn)潔干練，容易讓人忽略它的力量和內(nèi)涵。

當(dāng)然，愛(ài)因斯坦可不會(huì)忘記這個(gè)常數(shù)。拜托，我們談?wù)摰目墒怯惺芬詠?lái)不用梳子的最偉大的科學(xué)家之一。不過(guò)呢，他犯了一個(gè)更難以察覺(jué)但更嚴(yán)重的錯(cuò)誤。

“我要帶領(lǐng)讀者走一遍我走過(guò)的路，”愛(ài)因斯坦在他1917年發(fā)表的論文中寫(xiě)道，“這是一條崎嶇不平的路?！笔聦?shí)上，他就像在迷宮般的單行道上前行，在數(shù)學(xué)的拐角處屢屢受挫。

愛(ài)因斯坦第一次嘗試描述整個(gè)宇宙時(shí)，得出的結(jié)論與已知的事實(shí)相矛盾。在第二次嘗試中，他需要明確一個(gè)“正確的”參照系，這又違背了“相對(duì)論”的內(nèi)涵。在第三次嘗試中，他采用了一個(gè)同事的建議，然而，得到的結(jié)果是“沒(méi)有解決問(wèn)題的希望，就相當(dāng)于放棄”。他那著名的方程式并沒(méi)有提供足夠的靈活性。

最后，愛(ài)因斯坦只能通過(guò)引入一個(gè)積分常數(shù)來(lái)挽救他的模型：Λ。這是一個(gè)希臘字母；愛(ài)因斯坦實(shí)際上用的是小寫(xiě)的λ，由此可見(jiàn)，他對(duì)它或許缺乏尊重。不管怎樣，λ就此成為宇宙哲學(xué)意義上的常數(shù)。

盡管如此，愛(ài)因斯坦仍然感到為難，因?yàn)楝F(xiàn)在整篇論文讀起來(lái)有點(diǎn)像寫(xiě)給λ的道歉信。他認(rèn)為這是廣義相對(duì)論的一個(gè)缺陷，它拙劣地把問(wèn)題復(fù)雜化了。λ的必要性讓他感到沮喪，就如同一個(gè)汽車(chē)引擎只有在某種引擎蓋的裝飾下才能正常運(yùn)行一樣。

這樣的情況持續(xù)了十多年。1929年，天文學(xué)家埃德溫·哈勃帶來(lái)了一條超級(jí)大新聞，事實(shí)上，如果以立方米為單位來(lái)衡量新聞的尺寸，那這應(yīng)該是有史以來(lái)最大的新聞。

哈勃發(fā)現(xiàn)，大家此前所說(shuō)的“那個(gè)宇宙”并不是真正的宇宙，只是我們所在的星系——銀河系。夜空中那些模糊的螺旋狀星云實(shí)際上是其他星系，它們的大小與我們的銀河系相似，但距離我們有幾百萬(wàn)光年，其中大多數(shù)還在繼續(xù)遠(yuǎn)離我們。因此，宇宙不僅比我們想象的要大得多，而且每時(shí)每刻都在膨脹，宇宙中的星系就像一塊正在發(fā)酵的面包里的葡萄干一樣在分離。

一些人認(rèn)為，愛(ài)因斯坦把未能預(yù)測(cè)宇宙的膨脹歸咎于λ，而這本該是廣義相對(duì)論皇冠上的寶石。不過(guò)，幾乎沒(méi)有證據(jù)表明他是這么想的。愛(ài)因斯坦野心勃勃地研究宇宙學(xué)，目標(biāo)很明確，就是要證明廣義相對(duì)論可以建立一個(gè)具有普適性的模型，而且他從來(lái)沒(méi)有哀嘆過(guò)什么“失敗的預(yù)測(cè)”。相反，他對(duì)λ的怨恨似乎來(lái)自一種個(gè)人的審美偏好，即積分常數(shù)應(yīng)該等于零，就像那些堅(jiān)持認(rèn)為小孩不應(yīng)該出現(xiàn)在公共場(chǎng)所的人一樣。

1998年，人們發(fā)現(xiàn)宇宙不僅僅是在膨脹，而且這樣的膨脹正在加速。如同平地一聲雷，沉寂了半個(gè)世紀(jì)的宇宙學(xué)定律復(fù)活了——它甚至以大寫(xiě)字母的姿態(tài)重回人們的視野。如今看來(lái)，Λ根本不是零：它捕捉到了“暗能量”的存在，這是空曠空間里的一種特殊存在，與引力相抗衡。根據(jù)我們目前的探索，它占據(jù)了宇宙質(zhì)量總和的68%。因此，愛(ài)因斯坦的積分常數(shù)不是一個(gè)可以忽略不計(jì)的錯(cuò)誤。毫不夸張地說(shuō)，它占了宇宙質(zhì)量總和的三分之二。

從來(lái)沒(méi)有人說(shuō)過(guò)愛(ài)因斯坦是一個(gè)完美的數(shù)學(xué)家，尤其是愛(ài)因斯坦本人?！安灰窇帜阍跀?shù)學(xué)上遇到的困難，”他給一個(gè)12歲的筆友寫(xiě)道，“我可以向你保證，我遇到的困難比你還大?！庇幸槐久麨椤稅?ài)因斯坦的錯(cuò)誤》（Einstein’s Mistakes）的著作聲稱(chēng)愛(ài)因斯坦20%的論文有實(shí)質(zhì)性的錯(cuò)誤（希望不要有人寫(xiě)一本書(shū)名為《奧爾林的錯(cuò)誤》，專(zhuān)門(mén)挑我的錯(cuò)誤）。弗里茲·諾瓦（Frizz Nova）對(duì)此不以為意，他打趣道：“從來(lái)沒(méi)有犯過(guò)錯(cuò)誤的人，應(yīng)該是從來(lái)沒(méi)有嘗試過(guò)新東西?！?/p>這就是積分常數(shù)。它們很容易被忽視，也很難詮釋。有時(shí)候它們真的是零，而其他時(shí)候，它們其實(shí)暗含著關(guān)鍵信息。初學(xué)者可能會(huì)不小心忘記這個(gè)積分常數(shù)；而相比之下，科學(xué)家沒(méi)有忘記它，他們返回去刪除了它，并堅(jiān)持認(rèn)為它必須一直是零。

我不知道你們是怎么想的，但是對(duì)我來(lái)說(shuō)，愛(ài)因斯坦的故事讓我非常高興能參與這個(gè)曲折的、不斷膨脹的宇宙之旅。在這個(gè)旅程中，即使是常數(shù)，也在講述著變化的故事。

（本文節(jié)選自《歡樂(lè)數(shù)學(xué)之瘋狂微積分》一書(shū)，天津科學(xué)技術(shù)出版社出版，未讀出品，2022年10月版，作者本·奧爾林（Ben Orlin），是“數(shù)學(xué)和爛插畫(huà)”（mathwithbaddrawings.com）博客的作者，同時(shí)也為《大西洋月刊》、線上雜志Slate、《洛杉磯時(shí)報(bào)》和《芝加哥論壇報(bào)》撰寫(xiě)與數(shù)學(xué)相關(guān)的文章，已出版作品《歡樂(lè)數(shù)學(xué)》。本書(shū)譯者為唐燕池。澎湃科技獲授權(quán)刊發(fā)。）