原創(chuàng) 特斯拉的信徒 果殼

有這個必要嗎？

如果你期待這里有哥德巴赫猜想的完整證明，我只能說哥們兒你失望了。我說的 1 和 2 可都是純粹的自然數(shù)。

你開始不屑一顧了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是顯然的嗎？可是你是否考慮過，以前學(xué)幾何的時候，我們總是從一些公理開始，逐漸推出需要的結(jié)論。然而，代數(shù)的學(xué)習(xí)卻不是這樣。

我們有的是加法表和乘法表，而這些表早已成為計算的直覺刻在腦子里。一個靠直覺構(gòu)建起來的體系似乎不太讓人覺得可信。如果連 1 + 1 = 2 這樣簡單的算式都無法證明，那么所有經(jīng)由此類運算得到的結(jié)果都是不可信的，至少是不科學(xué)的。看來，我們需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的東西。

圖源：圖蟲創(chuàng)意

什么是 1，什么是 2？

在證明之前，首先我們要明白什么是自然數(shù)，什么是加法。類似于幾何的公理化理論體系，我們需要提出幾個公理，然后據(jù)此定義自然數(shù)，進(jìn)而定義加法。

先來定義自然數(shù)。根據(jù)自然數(shù)的意義（也就是人類平時數(shù)數(shù)時對自然數(shù)的運用方法），它應(yīng)該是從一個數(shù)開始，一直往上數(shù)，而且想數(shù)幾個就可以數(shù)幾個（也就是自然數(shù)有無限個）。據(jù)此我們得到以下公理：

公理 1. 0 是一個自然數(shù)。

公理 2. 如果 n 是自然數(shù)，則 S(n) 也是自然數(shù)。

在這里， S(n) 就代表 n 的“后繼”，也就是 n 往上再數(shù)一個。沒錯，我們平時所說的 0, 1, 2, 3, ??，無非就是表示上述這種叫做“自然數(shù)”的數(shù)學(xué)對象的符號而已。我們用符號“0”來表示最初的那個自然數(shù)，用“1”來表示 0 的后繼 S(0)，而 1 的后繼 S(1) 則用符號“2”來表示，等等。

可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數(shù)，因為滿足這兩條的有可能不是自然數(shù)系統(tǒng)。比如考慮由 0, 1, 2, 3 構(gòu)成的數(shù)字系統(tǒng)，其中 S(3) = 0（即 3 的后一個數(shù)變回 0）。這不符合我們對于自然數(shù)系統(tǒng)的期望，因為它只包含有限個數(shù)。因此，我們要對自然數(shù)結(jié)構(gòu)再做一下限制：

公理 3. 0 不是任何一個數(shù)的后繼。

但這里面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數(shù)字系統(tǒng) 0, 1, 2, 3，其中 S(3) = 3。看來，我們設(shè)置的公理還不夠嚴(yán)密。我們還得再加一條：

公理 4. 若 n 與 m 均為自然數(shù)且 n ≠ m，則 S(n) ≠ S(m)。也就是說，互不相同的兩個自然數(shù)，它們各自的后繼也是兩個不同的數(shù)。這樣一來，上面說到的反例就可以排除了，因為 3 不可能既是 2 的后繼，也是 3 的后繼。

最后，為了排除一些自然數(shù)中不應(yīng)存在的數(shù)（如 0.5），同時也為了滿足一會兒制定運算規(guī)則的需要，我們加上最后一條公理。

公理 5. （數(shù)學(xué)歸納法）設(shè) P(n) 為關(guān)于自然數(shù) n 的一個性質(zhì)。如果 P(0) 正確，且假設(shè) P(n) 正確，則 P(S(n)) 亦真實。那么 P(n) 對一切自然數(shù) n 都正確。

有了這以上的努力，我們就可以這樣定義自然數(shù)系了：存在一個自然數(shù)系 N，稱其元素為自然數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)這些元素滿足公理 1 - 5。

什么是加法？

我們定義，加法是滿足以下兩種規(guī)則的運算：

1. 對于任意自然數(shù) m，0 + m = m；

2. 對于任意自然數(shù) m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。

有了這兩條僅依賴于“后繼”關(guān)系的加法定義，任意兩個自然數(shù)相加的結(jié)果都能確定出來了。

如何證明1+1=2 ？

至此，我們可以證明 1 + 1 = 2 了：

1 + 1

= S(0) + 1 （根據(jù)自然數(shù)的公理）

= S(0 + 1) （根據(jù)加法定義 2）

= S(1) （根據(jù)加法定義 1）

= 2 （根據(jù)自然數(shù)的公理）

事實上，根據(jù)加法的定義，我們不但可以證明每一個加法等式，還可以進(jìn)一步證明自然數(shù)的加法結(jié)合律和交換率等一般規(guī)律。類似于加法的定義，還可以定義自然數(shù)的乘法并據(jù)此證明乘法的結(jié)合律、交換率和分配率等。如果大家對這方面問題感興趣的話，可以看看參考文獻(xiàn)[1].

看到這里，不知道你會不會有一種如釋重負(fù)的感覺。原來，我們所知道的關(guān)于數(shù)學(xué)的一切，關(guān)于人類認(rèn)識世界的一切，都不是建立在直覺之上，而是在接受幾個公理的條件下通過理性的方法推導(dǎo)出來的。同時或許你還會有一種自由的感覺：正如你可以不接受歐幾里得的公理而構(gòu)造自己的幾何體系一樣，你也可以不接受上面的幾個公理而建立自己的一套關(guān)于數(shù)的體系。你可以建立無數(shù)種奇奇怪怪的體系。不過如果是為了解釋自然的話，至少從目前的角度看，現(xiàn)有的這套還是更好一些。

一些歷史背景

上面所說的公理 1 - 5 便是著名的皮亞諾公理，它是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在 1889 年發(fā)表的。雖然描述這套公理體系的數(shù)學(xué)語言發(fā)生過不少變化，但這套體系本身一直延用至今。

根據(jù)這個建立在公理基礎(chǔ)之上的自然數(shù)體系，通過引入減法可以得到整數(shù)系，再引入除法得到有理數(shù)體系。隨后，通過計算有理數(shù)序列的極限（由數(shù)學(xué)家康托提出）或者對有理數(shù)系進(jìn)行分割（由戴德金提出）得到實數(shù)系 [2]。這一套公理化實數(shù)體系連同同時期魏爾斯特拉斯在微積分分析化過程中的貢獻(xiàn)（例如極限定義中的 ε-δ 語言）一道，使得早已被人類應(yīng)用兩百多年的微積分學(xué)能建立在一個堅實的基礎(chǔ)上 [3]。

參考文獻(xiàn)

[1] Analysis [M]. Terence Tao

[2] 數(shù)學(xué)史概論（第二版）[M]. 李文林

[3] A History of Mathematics, an Introduction (Second Edition) [M]. Victor J. Katz

作者：特斯拉的信徒

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