【摘要】

根據(jù)可表偶數(shù)和例外偶數(shù)的定義，通過互異必有相鄰和相鄰必有互素的思想，可證明“整數(shù)三元方程若兩元互素則三元兩兩互素”的定理成立.  再使用相鄰互素遞推法，可證明“三元方程兩對解集互素若第三對解集互異必解集基底互素”的推論也成立.  也就是說三元方程互異解集特定情形彼此必有新素因子. 最后憑借摩根律，可殊途同歸證明“二元加法運(yùn)算在可表偶數(shù)上封閉”，即例外偶數(shù)因無基底而導(dǎo)致無通解，可表偶數(shù)與大于6的所有偶數(shù)同構(gòu). 于是更強(qiáng)版的哥德巴赫猜想獲證.

【關(guān)鍵詞】相鄰互素；解集互異；基底互素；三元整數(shù)方程互素定理以及解集基底互素推論；摩根律；中國剩余定理；伯特蘭定理；哥德巴赫猜想；齋藤猜想；孿生素?cái)?shù)猜想；波利尼亞克猜想；考拉茲猜想；abc猜想；黎曼假設(shè).

區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)對象需要求異思維，關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)對象需要求同思維，兩類思維交互進(jìn)行，可解決一系列至今未解的重要猜想.

擴(kuò)展范疇，互異必有相鄰，相鄰必有互素，這是生成元和生成對象通過算法能迭代生成各種分形的原因，作者把這一規(guī)律叫著相鄰論，用泛相鄰思想有序地完成域擴(kuò)張，就象離散數(shù)學(xué)從抽象的區(qū)分出發(fā)，回歸區(qū)分. 此所謂生起次第，法界森嚴(yán).

限制類型，那二元加法運(yùn)算在該類型偶數(shù)上一定封閉，允許擴(kuò)域和限制，那相應(yīng)的二元算法必能在相應(yīng)的數(shù)域里封閉，這是生成元和生成對象通過算法能遞歸生成確定極值的原因，作者把這一規(guī)律叫著重合法，用泛相等思想有界地完成域擴(kuò)張，就象連續(xù)數(shù)學(xué)從抽象的關(guān)聯(lián)出發(fā)，回歸關(guān)聯(lián). 此所謂圓滿次第，空色一如.

哥德巴赫猜想的表達(dá)式p+q=2n（左邊刻畫次第，右邊刻畫平等），就是研究“區(qū)分與等量之間關(guān)系“的，也是研究“各種分類之間的等價關(guān)系”的. 會發(fā)現(xiàn)，素?cái)?shù)多項(xiàng)式與素?cái)?shù)二項(xiàng)式等價，素?cái)?shù)二項(xiàng)式與素?cái)?shù)單項(xiàng)式等價，排中律以矛盾律為歸旨，矛盾律以同一律為歸旨.  至簡世界必有真值，這是第一性原理.

數(shù)學(xué)之爭歸根結(jié)底來自“對無窮世界進(jìn)行分類有分歧”. 皮亞諾公理體系面向?qū)崯o窮若存在既不能證偽也不能證真的命題，則兩種無窮之外一定是存在真值對象的，添加新公理便可. 這一點(diǎn)哥德爾已經(jīng)表達(dá)得很透徹. 皮亞諾公理體系面向潛無窮若存在既不能證真也不能證偽的命題，則兩種無窮之外一定是不存在真值對象的，哥德巴赫猜想獲證體現(xiàn)了這一思想. 如何讓皮亞諾公理體系面向潛無窮呢？即公理不斷可擴(kuò)域可恒久理解. 在這樣的前提下，陰陽之外無真值. 真值可永遠(yuǎn)隱藏在能超越實(shí)無窮的潛無窮里，一個命題，要么可證真，要么可證偽，沒有第三種選項(xiàng). 不能用兩個素?cái)?shù)之和表達(dá)的偶數(shù)是不存在的. 無窮無漏個素?cái)?shù)可一分為二，兩類等于全集的互異素?cái)?shù)集相加不會生成第三類互異的素因子集，也不在兩類素因子的數(shù)集中. 實(shí)無窮分類對象，其中一定有假，也可能都假，但其它一定有真. 潛無窮分類對象，其中一定有真，也可能都真，但其它一定為假. 如此可解決數(shù)學(xué)史上很多爭論不休的問題. 既要讓實(shí)無窮存在，易表達(dá)，也要讓潛無窮存在，有希望. 

以下我們就在“易表達(dá)”和“有希望”的引領(lǐng)下嘗試證明哥德巴赫猜想.

1.0. 

◎“互素”定義：a和b無共同素因子就叫a和b互素，也叫互質(zhì)，比如說，3和5，18與35，1和7，1和1，它們都是互素的.

1.1.

◎“三元互素方程”定理：整數(shù)三元方程若兩元互素則三元兩兩互素，即 a+b=c，當(dāng)gcd（a，b）=1，則gcd（b，c）=1，gcd（a，c）=1。

證明：已知 a、b 是一對互素的整數(shù)，c是它們的和，即 a+b=c，由于a與b互素，故b與c以及a與c必互素。假如其中兩項(xiàng)非互素，有公約數(shù)可約掉，另一項(xiàng)不可約而成真分?jǐn)?shù)，如此就會產(chǎn)生整數(shù)與真分?jǐn)?shù)相等，矛盾. 故整數(shù)三元方程若兩元互素則三元兩兩互素.

1.2.

◎“互異分割方程”定理：大于4的任意偶數(shù)2n都能完成互異分割，也能完成互素分割，即a和b必有互異互素解集表達(dá)任意偶數(shù). 若有“a+b=2n”，則存在“gcd（a，b）=1，a≠b”.

證明：大于4的任意偶數(shù)2n都可以完成等量分割，均分為兩個相同量即n+n=2n，以n為中位數(shù)可構(gòu)造共軛差不為0的兩個數(shù)，其和也等于2n，即n+m+n-m=2n, 當(dāng)a=n+m，b=n-m，m大于0時，2n完成了互異分割a+b=2n，令a每次與給定的2n互素，則2n也與b互素，我們稱所有的2n都能完成互素分割。即關(guān)于2n的本原解方程已經(jīng)囊括了可構(gòu)造2n的全部解集，2n的本原解三元方程其通解在偶數(shù)集上不擴(kuò)域。本原解方程就是通過數(shù)乘逆運(yùn)算得到每一項(xiàng)都沒有公因子的方程，如本原解方程a+b=c的通解方程是ta+tb=tc。以后我們還將證明，2n的最簡本原解三元方程其內(nèi)積通解在偶數(shù)集上也不擴(kuò)域. 最簡本原解方程就是通過內(nèi)積逆運(yùn)算得到的方程，其生成元為彼此互異的素?cái)?shù)，其生成對象與生成元分別互素，如最簡本原解方程p+q=2n的內(nèi)積通解方程是ap+bq=2cn.

1.3.

◎“基底互素”定義：a和b有不同素因子就叫基底互素，如3和5，77和91. 互素關(guān)系中，若a≠1或者b≠1，則該類互素也屬基底互素; 基底互素關(guān)系中，若不含公因子，同時a≠1或者b≠1，則該類基底互素也屬互素. 任意偶數(shù)可完成互異分割，得到方程2n=a+b，當(dāng)a或b都不是彼此的公因子時，a和b是基底互素的. 基底互素方程必有二維素?cái)?shù)基底.

◎“解集基底互素”定義：在三元互素方程中，每次解是兩兩互素的，累積解不一定兩兩互素，若兩元的累積解互素，且a和b累積解都非1，則我們稱a和b解集基底互素.如，解集a={3，11，30，65}與解集b={7，13，55，99}是解集基底互素的，a中的3與b中的7為不共素因子，故a和b是解集基底互素的.

◎“解集互異”定義：在三元互素方程中，a和b解集中沒有任何一個相同解，就叫解集互異. 如a={5，18，22}與b={9,11,17}，a和b解集就沒有任何一個相同解，故稱a和b解集互異. 

1.4.

◎“三元方程互異解集基底互素”定理：整數(shù)三元方程a+b=c，Ubi、Uai、Uci為三元方程解集，若解集gcd(Ubai,Ubi)=1，解集gcd(Uci，Ubi）=1，且Ubi或Uai≠Uci，則解集(Uai,Uci)基底互素，三元方程解集兩對互素第三對必基底互素，當(dāng)Uci與Uai互異，Uai蘊(yùn)含全部素因子時，同時也嚴(yán)格解集互素gcd(Uai, Uci)=1.

同樣，若解集gcd(Ubai,Uci)=1，解集gcd(Uci，Ubi）=1，且Uci或Ubi≠Uai，則解集(Uai,Ubi)基底互素，三元方程解集兩對互素第三對必基底互素，當(dāng)Ubi與Uai互異，Uai蘊(yùn)含全部素因子時，同時也嚴(yán)格解集互素gcd(Uai, Ubi)=1.

 （i為足碼，U為解集的并運(yùn)算符號）

證明：a和b無共同素因子就叫a和b互素，a和b有不同素因子就叫基底互素. 已知 a、b是一對互素的整數(shù)，c是它們的和，即a+b=c，由于gcd(Uai,Ubi)=1，gcd(Ubi,Uci)=1，且a與b、b與c以及a與c必每次互素,則Uai和Uci必基底互素，一個解集跟另一個解集在基底互素的條件下有新增素?cái)?shù)因子的性質(zhì)?；谆ニ?，說明單對單數(shù)值每次比較有不共素因子，多對多解集通關(guān)比較也有不共素因子. 通俗地說，兩大互異陣營都有對方?jīng)]有的秘密武器. 但基底互素允許存在共素因子. 

同時也嚴(yán)格互素gcd(Uai, Uci)=1，當(dāng)Uci與Uai互異，Uai蘊(yùn)含全部素因子時. 1和任何整數(shù)都互素，但不屬于基底互素，1和1互素，但不屬于基底互素，15和3約掉3后互素，但不屬于基底互素，21和35非互素，但屬于基底互素，因?yàn)榧s掉7后，3和5是互素的，且不含1。有些數(shù)是基底互素但不要求互素，如15和9，有些數(shù)互素但不基底互素，如5和1，有些數(shù)既互素又基底互素，如3和5，有些數(shù)既不基底互素也不互素，如15和3，非基底互素的，說明有一方相對沒有增添新素?cái)?shù)因子. 

假如（Uai,Uci)不是基底互素，移除共因子后，存在gcd(Ua’i,1)=1，Uci相比Uai就沒有新增素因子，根據(jù)基底互素的定義，兩個整數(shù)之間相互含有不一樣的素因子，就叫基底互素，基底互素的整數(shù)也可以含有公因子，解集基底互素，說明解集之間都有不共素因子，不象a和1，僅單方面有不共素因子，基底互素說明，一個解集有對方?jīng)]有的另類素因子，另一個解集也必有對方?jīng)]有的另類素因子.

那么根據(jù)定義Ubi或Uai≠Uci，在每次解互素的前提下，會導(dǎo)致c解集相對不增加新素因子或a解集相對不增加新素因子，a解集中的素因子都在c中，或者c解集中的素因子都在a中，前者說明，c中有增加新素因子，可不考慮，我們僅假設(shè)c沒有增加新素因子的情形，在a’是a中素因子的乘積數(shù)，b‘是b中素因子的乘積數(shù)時，那c中的素因子就不可能是a中素因子的子集，這與不是基底互素的假設(shè)相矛盾. 以下用四種方法證明該定理成立.

1.4.1.

已知：三元方程（2p'- p ）+p=2p’是兩兩互素的，且（2p'- p）與p是解集互素的，p與2p’是解集互素的，（2p'- p）與2p’是解集互異的. p、p’為兩分的素因子數(shù)集.

求證：（2p'- p）解集相對于2p’解集有增添新素因子，也就是說（2p'- p）與2p’是基底互素的.

證明：假如全部素因子分為兩組非空互素解集相加不會增加新素?cái)?shù)因子，當(dāng)然也不會為空集，且與其中一組全部互素，與另一組互異，即可令該組數(shù)為（2p'1- p1），與p’互異，與p全集互素，其中p與p’的并為全集素?cái)?shù)，則定有(字母后面的數(shù)字為足碼)： 

p1+（2p'1- p1）=2 p'1，p2+（2p'2- p2）=2 p'2，……pi+（2p'i- pi）=2 p'i，這是伯特蘭定理以及三元互素方程性質(zhì)所得到的結(jié)果（該定理切比雪夫已證明，下文1.3作者有簡潔證明），因?yàn)閜’與 p’之間有素?cái)?shù)，故定有差值（2p’- p）與p和p’都互素，2p'1和2p'2……中的素因子須與p'1和p'2……全集互素，又不能比（2p'1-p1）和（2p'1-p2）……有更多素因子，也不能同其等值，那只能取其局部素因子，即不到一半，可是我們知道，p與p'已經(jīng)囊括了所有素因子，（2p'1- p1）與p’1全集互素，與p全集互異，導(dǎo)致就沒有素因子，那p'為其中一半不到的素因子，p'也就等于不含素因子，這與解集非空的假設(shè)相矛盾，可見“全部素因子分為兩組非空互素解集相加不會新增素?cái)?shù)因子”的假設(shè)是不真的，說明“要么增加新素?cái)?shù)因子要么與全集互異無法增加新素因子而屬于空集”的判定才是正確的。由此可證明，三元方程兩對解集互素那第三對解集互異定是基底互素的.

1.4.2. 

已知：三元方程（2p'- p）+p=2p’是兩兩互素的，且（2p'- p）與p是解集互素的，p與2p’是解集互素的，（2p'- p）與2p’是解集互異的. p、p'、q為三分的素因子數(shù)集.

求證：（2p'- p）解集相對于2p’解集有增添新素因子，也就是說（2p'- p）與2p’是基底互素的.

證明：另外假設(shè)全部素因子分為p、p’、非q三組非空互素解集任意配對相加不會增加新素?cái)?shù)因子，會導(dǎo)致矛盾，同樣也可以歸謬證明1.4定理成立。根據(jù)條件可知，（2p'1- p1）+p1=2 p'1，（2p'2- p2）+p2=2 p'2，…（2p'i- pi）+ pi =2 p'i，同樣符合伯特蘭定理要求，2p'與p'之間有素?cái)?shù)，故可規(guī)定有差值（2p'- p）與p解集互素，與p’解集互異，2p'1和2p'2……中的素因子與p1和p2……pi也是解集互素的，兩個非空集任意配對相加不會是空集，能得到素因子p’集合，根據(jù)假設(shè)它屬于（2p'i- pi）的素因子中的真子集，且與其中第一組p全部互素，與第三組q全部互素，即可令三類素?cái)?shù)通過三元互素方程構(gòu)造出的（2p'1- p1），與p’解集互異，與第三類素?cái)?shù)q解集互素，與第二類素?cái)?shù)p解集互素，其中p與p'以及q的并集為所有素?cái)?shù)，但卻得出p與p'以及q的并集是（2p'1- p1）中的素因子與p和q之并集的真子集，矛盾，因?yàn)槿豢赡苁钦孀蛹? 于是可證明，互素解集任意配對相加不會增加新素?cái)?shù)因子的假設(shè)是不真的. 說明要么增加新素?cái)?shù)因子要么與全集互異無法增加新素因子而不存在的判定才是正確的. 

1.4.3. 

已知：三元方程a+b=c是兩兩互素的，且a與b是解集互素的，b與c是解集互素的，a與c是解集互異的.a、b、t為三分素因子數(shù)集.

求證：c解集相對于a解集有增添新素因子，也就是說c與a是基底互素的.

證明：三元方程a+b=c，其a、b互素集為整數(shù)，b、c互素集為整數(shù)，a、c互異集為整數(shù)時，a和c基底互素的命題也成立，把（2p'- p）換成（2c-b），p換成b，2b換成c，證明一樣可行，（2c-b）+b=2c，令b與2c是解集互素的，（2c-b）與b是解集互素的（任意偶數(shù)皆可進(jìn)行互素分割，這是唯一析因定理的一個推論，見1.1，2n=w+t是互素方程，t為大于n的奇數(shù)，其素因子與n中素因子不同）.（2c-b）與2c是解集互異的，b、c、t是三分所有素因子的數(shù)集，則（2c-b）與2c是基底互素的。假如非基底互素，同理可證會出現(xiàn)矛盾，因?yàn)榉腔谆ニ?，就等?c中素因子是（2c-b）中素因子的真子集，于是f（b）∪f（c）∪f（t）? f（b）∪f（2c-b）∪f（t），這就導(dǎo)致，素因子全集f（b）∪f（c）∪f（t）是該集（b）∪f（2c-b）∪f（t）的真子集，全集不可能是該全集或其子集的真子集，母雞畢竟不是自己下的蛋孵出來的，這就證明了三元方程兩組解集互素第三組互異會增添新素因子，于是定理1.4獲證.

1.4.4.

我們還可用相鄰互素遞推法來再次證明該定理，上文通過互素遞推到整體發(fā)現(xiàn)矛盾，后文將通過互素遞推到原初也會發(fā)現(xiàn)矛盾. 費(fèi)馬的無窮遞降法可以用于反證法，因?yàn)檫f降所得到的結(jié)果是可驗(yàn)證的，而相鄰互素遞推是無窮遞減法，也可用于反證法，因?yàn)檫f減所得到的結(jié)果也是可驗(yàn)證的. 現(xiàn)我們令b=1，如果可行，其它情形也成立，任何一個與a、c解集互素的b解集皆可行，因?yàn)?能帶來新增素?cái)?shù)，兼具基底互素的其它素?cái)?shù)因子數(shù)一樣可行，多個也行，有一個能產(chǎn)生新增素因子，那互素集就帶來了新增素?cái)?shù)因子，原理一致. 因?yàn)閏解集中有一個解包含生成的新素因子，就等于c解集有新素因子,

已知：a1+1=c1；a2+1=c2；a3+1=c3；a4+1=c4；a5+1=c5；……ai+1=ci；c解集≠1，以上每個三元方程是互素的，且a解集與1解集是互素的，c解集與1解集是互素的，a解集與c解集是互異的.（當(dāng)把1換成互素解集b時性質(zhì)不變）.

求證：c相對于a有新增素?cái)?shù)因子.

證明：因?yàn)閍解集和c解集不可能相同，條件規(guī)定不許，說明不是a有就是c有新增素?cái)?shù)，c有就不用證明了，現(xiàn)假設(shè)c解集素因子∈a解集素因子，a有c沒有的素因子，于是可推得，一個數(shù)集相鄰遞減會產(chǎn)生新增素?cái)?shù)因子，相鄰遞增反而會減少素?cái)?shù)因子，那么繼續(xù)遞減還會繼續(xù)新增素?cái)?shù)因子，因?yàn)閧 c1-1；c2-1；c3-1；c4-1；c5-1；……ci-1}比{ c1；c2；c3；c4；c5；……ci}還含更多素因子，進(jìn)一步互異遞推可找到最小初項(xiàng)時的數(shù)集，即一個相對更小數(shù)集{ c1-w；c2-w；c3-w；c4-w；c5-w；……ci-w}含更多素因子，導(dǎo)致c-1中首項(xiàng)數(shù)小于c中含有的素因子，還要蘊(yùn)含c中的素因子，這與“一個數(shù)不能小于該數(shù)的素因子“相矛盾. 即當(dāng)c有w素因子，而a中的最大項(xiàng)遞減到小于w時，a必?zé)oc中包含的素因子w了，首項(xiàng)無w因子，則a解集無w因子，這必與假設(shè)相矛盾。可見假設(shè)a相對于c有新增素?cái)?shù)因子（c解集素因子∈a解集素因子）是不真的，于是” 三元方程兩組解集互素第三組互異會增添新素因子“的推論得證. 當(dāng)把加項(xiàng)1換成互素解集b時性質(zhì)不變，命題同理可證。

歐幾里得已經(jīng)證明了，含任意個素因子的若干個整數(shù)乘積加1（或加一個互素?cái)?shù)）會產(chǎn)生其它素因子. 現(xiàn)我們換個角度也能證明，含任意個素因子的若干個整數(shù)分別加1（或加一個互素?cái)?shù)）也會產(chǎn)生其它素因子. 如果沒有c中的新增素?cái)?shù)，就無法互素構(gòu)造出a中有c中沒有的素因子，會導(dǎo)致“首項(xiàng)的數(shù)值變小后，所蘊(yùn)含的素因子仍包含原首項(xiàng)素因子“的這一結(jié)果與實(shí)情不符的矛盾. 這說明“a中的素因子與c中的素因子非基底互素（c的素?cái)?shù)因子∈a中的素因子）“的假設(shè)不真. 這就歸謬證明了，互素?cái)U(kuò)域會新增素?cái)?shù)因子，不新增素?cái)?shù)因子的互素?cái)U(kuò)域就像“龜毛兔角”，子虛烏有. 可見(Uai,Uci)有不共素因子，于是“三元方程解集(Uai,Uci)一定基底互素”的推論成立.

于是(Uai,Uci)非基底互素的假設(shè)是不真的. 故c中的新素因子是每個a和b的基底素因子補(bǔ)元不斷篩查所剩的交集. 在此前提下，就會導(dǎo)出一個重要性質(zhì)：

意味著要同所有的a基底互素才能篩查出c中的新素因子. c中的新素因子同每個a和b中的素因子都是互異集，尤其是針對可表偶數(shù)2p，可清晰地判定c中的新素因子同每個p是互異集. 于是根據(jù)摩根律就可得到這樣一組表達(dá)：

在a+b=c中，c中首項(xiàng)數(shù)的素因子=Cu（a1中的素因子）∩Cu（a2中的素因子）∩Cu（a3中的素因子）∩Cu（a4中的素因子）∩……Cu（an中的素因子）∩Cu（b1中的素因子）∩Cu（b2中的素因子）∩Cu（b3中的素因子）∩Cu（b4中的素因子）∩……Cu（bn中的素因子）. 根據(jù)摩根律“補(bǔ)的交等于并的補(bǔ)”可得：

c中首項(xiàng)數(shù)的素因子=Cu{（a1中的素因子）∪（a2中的素因子）∪（a3中的素因子）∪（a4中的素因子）∪……（an中的素因子）∪b1中的素因子）∪（b2中的素因子）∪（b3中的素因子）∪（b4中的素因子）∪……∪（bn中的素因子）}= Cu全體素因子= ?。而c沒有龍頭數(shù)，c就沒有后繼同類數(shù),

下文將證可表偶數(shù)2p屬于a，當(dāng)解集c同蘊(yùn)含全部素因子數(shù)的a基底互素時，也就等價于a和c兩個解集沒有公共因子，因此當(dāng)a為可表偶數(shù)時，gcd(Uai,Uci)=1.

在三元互素方程a+b=c中，a與c，b與c解集互素，a與b互異，則a與b基底互素，總之，有兩對解集互素，第三對互異必基底互素. 證法同上.

2.0.

◎“中位數(shù)”定義：兩個整數(shù)之和的平均值叫中位數(shù), 兩個奇數(shù)（含奇素?cái)?shù)）之和的中位數(shù)都是整數(shù). 比如19和7的中位數(shù)是13，21和11的中位數(shù)是16.

◎“共軛奇數(shù)”定義：與中位數(shù)差值相等的一對奇數(shù)叫共軛奇數(shù). 如，27和33是一對共軛奇數(shù)，它們的中位數(shù)是30.

◎“共軛素?cái)?shù)”定義：與中位數(shù)差值相等的一對素?cái)?shù)叫共軛素?cái)?shù).其中與中位數(shù)差值非0的一對素?cái)?shù)叫共軛互異素?cái)?shù).如，3+7=2X5，5+5=2X5，其中3和7，5和5都是與中位數(shù)差值相等的共軛素?cái)?shù)對，而3和7是共軛互異素?cái)?shù).

2.1.

◎“伯特蘭”定理：任意偶數(shù)2n與自然數(shù)n之間必有素?cái)?shù)（伯特蘭-切比雪夫定理的新證法）.

證明：假設(shè)2n與n之間不一定有素?cái)?shù)（n為大于2的所有自然數(shù)），可推出2q與q之間不一定有素?cái)?shù)（q為素?cái)?shù)），或2（q+t）與q+t之間不一定有素?cái)?shù)，2t為相鄰素?cái)?shù)間隔，即ap+bp‘=2qλ=2n（任意偶數(shù)可互素分割，由1.0的三元方程兩兩互素定理可推理得到，推理的過程是根據(jù)算術(shù)基本定理，任意給定偶數(shù)都有唯一確定的一組素因子，選擇互異的一組素因子所得到的數(shù)做減數(shù)，就能互素分割該偶數(shù), 任意給定2n都可分割出互素奇數(shù)ap，剩余所得到的bp’也必與2n互素，即任意2n皆可二元互素表達(dá)，也就是說所有偶數(shù)二元通解可用二元本原解表達(dá)），p、p‘、q為奇素?cái)?shù)，導(dǎo)致a或b≠1，p，p‘＜q，說明相鄰素?cái)?shù)之比大于2倍，因互素分割沒有偶數(shù)因子，另一合數(shù)中的素因子定大于等于3，這會與自然數(shù)n的稠密性相矛盾，與已經(jīng)知道的孿生素?cái)?shù)相鄰比相矛盾，意味著某些偶數(shù)不存在相鄰偶數(shù). 

因?yàn)楦鶕?jù)假定性質(zhì)q與2q之間或n與2n之間可能沒有素?cái)?shù)，推導(dǎo)出要表達(dá)2n就存在a或b≠1，p，p‘＜q，則p+bp‘≠2q，或ap+p‘≠2q，或p+p‘≠2q，說明存在2qλ無素?cái)?shù)因子可構(gòu)造（因可線性映射但無素?cái)?shù)單位元），這與正整數(shù)可稠密互素分割（ap+bp‘=2qλ=2n）相矛盾. 2qλ中的特征值λ可以是任意有理數(shù)，但2qλ必須是正整數(shù)，說明某些自然數(shù)n無法構(gòu)造. 于是歸謬可證2q與q之間存在區(qū)間沒有素?cái)?shù)是不真的，那么2n與n之間存在無素?cái)?shù)區(qū)間也是不真的. 這說明n與2n之間定有素?cái)?shù)，而這正是伯特蘭猜想，可見伯特蘭猜想可以用三元方程互素性質(zhì)以及特征值性質(zhì)得到證明，說明不依賴切比雪夫的證明，伯特蘭猜想也是成立的, 下文的推導(dǎo)要用到該定理。即任意給定偶數(shù)都能進(jìn)行二元互素分割，其中較大元可定為素?cái)?shù). 

以上是用線性代數(shù)基底的思想證明的，以下再用加性數(shù)論的思想來完成簡潔證明. 假設(shè)2q+2 只能用小于q大于2q+2的素?cái)?shù)加其它素?cái)?shù)才能構(gòu)造，那么大數(shù)區(qū)可排除，僅用小于q的素?cái)?shù)相加構(gòu)造，又不能生成大于q小于2q+2的素?cái)?shù)，否則等于間接用到了該區(qū)段的素?cái)?shù)，導(dǎo)致每次再加一個素?cái)?shù)所得到的和，它們的素因子都不在“q~2q+2”的范圍內(nèi). 由于素因子小于q的數(shù)進(jìn)行互素兩分，然后相加所得到是數(shù)一定會生成新素因子（由三元方程互異解集基底互素定理推得），給定偶數(shù)2q+2與共軛奇數(shù)對都是解集互素的，因?yàn)槿我馀紨?shù)都可以完成互素分割（由1.1偶數(shù)互素分割定理推得），三元方程有兩對解集互素，第三對解集互異必基底互素（由1.4三元方程互異解集基底互素定理推得）,并已知共軛奇數(shù)是互異的，故加性表達(dá)2q+2的共軛奇數(shù)一定是基底互素的. 但假設(shè)卻規(guī)定較大共軛奇數(shù)解集中的素因子都小于中值數(shù)q+1，即較大共軛奇數(shù)相對較小共軛奇數(shù)不會新增素因子，于是產(chǎn)生矛盾，這就歸謬證明了，兩個小于q+1的素因子數(shù)相加無法構(gòu)造2q+2，從而證明q與2q+2之間必有新增素因子數(shù)，由于大于中位數(shù)的新增素因子的倍數(shù)和更大的素因子數(shù)都大于2q+2，所以該新增素因子數(shù)必是大于q+1小于2q+2的新增素?cái)?shù)，等價于必是大于q小于2q的新增素?cái)?shù)，由于最小的奇素?cái)?shù)是3，3+2q-1無法得到2q，故可把范圍進(jìn)一步縮小，q與2q-2之間必有新增素?cái)?shù). 把素?cái)?shù)q替換成自然數(shù)n也一樣成立，因?yàn)橹灰猶與2q-2之間必有新增素?cái)?shù)，n與2n-2之間就必有在區(qū)段內(nèi)的新增素?cái)?shù)，于是伯特蘭定理獲證.

2.2.

◎“相鄰互素”定理：除0外的自然數(shù)必相鄰互素，即 m+1=h，m與h必互素。當(dāng)m解集∩h解集=空集，且m蘊(yùn)含所有素因子時，m解集與h解集必基底互素亦嚴(yán)格互素.

證明：已知 m、h 是一對相鄰自然數(shù)，即m+1=h，由于1與m互素，故m與h必互素. 假如其中兩項(xiàng)非互素，有公約數(shù)可約掉，就會產(chǎn)生整數(shù)與真分?jǐn)?shù)相等，矛盾. 故自然數(shù)相鄰互素.

在此基礎(chǔ)上本定理可通過1.2直接推導(dǎo)成立，m與1全集互素，h與1全集互素，且根據(jù)定義m≠h，m+1=h是三元互素方程，故第三對m與h必基底互素?？梢娺f增相鄰集是一定會增加新素?cái)?shù)因子的.

2.3. 

◎“相鄰偶數(shù)除以2后必互素“推論：偶數(shù)約掉因子2必相鄰互素，即2m+2=2h，h與m必互素。如果m解集與h解集互異，m蘊(yùn)含所有素因子，則m與h也是解集基底互素. 

證明：相鄰偶數(shù)2h與2m約掉2因子后是一對相鄰自然數(shù)，據(jù)上文已證定理，h與m 一定是基底互素的。根據(jù)1.4的推論，如果m解集與h解集互異，m蘊(yùn)含所有素因子，則m與h也是解集基底互素的. 因?yàn)閙、h分別與1解集互素，且互異，故m與h必解集基底互素.

本定理亦可通過2.2直接推導(dǎo)成立，約掉2因子后，就是相鄰互素方程，m與1全集互素，h與1全集互素，且根據(jù)定義m≠h，m+1=h是三元互素方程，故第三對m與h必基底互素, 基底互素，說明單對單數(shù)值每次比較有不共素因子，多對多解集通關(guān)比較也有不共素因子. 通俗地說，兩大互異陣營都有對方?jīng)]有的秘密武器. 與可表偶數(shù)互異的后繼偶數(shù)必有新素因子. 

3.0. 

◎“素?cái)?shù)”定義：除用1外不能等量分割的1的所有后繼數(shù)叫素?cái)?shù).

為了不循環(huán)定義，為了遵守戴德金的倒金字塔定義，我們避開了用自身用整數(shù)來定義素?cái)?shù)，數(shù)學(xué)是最反內(nèi)卷的一門學(xué)科，素?cái)?shù)須有新的定義. 當(dāng)然與原教科書的定義并不沖突，素?cái)?shù)是除1和自身外不能被其它整數(shù)整除的整數(shù). 把該定義理解成是用小素?cái)?shù)來定義大素?cái)?shù)是可行的，篩法思路就從此而出.

◎“可表偶數(shù)”定義：兩個任意奇素?cái)?shù)p與q互異相加所得到的所有偶數(shù)2m（其中存在整數(shù)m＞3）叫可表偶數(shù)，也叫基礎(chǔ)偶數(shù).

◎“例外偶數(shù)”定義：與可表偶數(shù)互異的所有偶數(shù)2h叫例外偶數(shù)，也叫非基礎(chǔ)偶數(shù)，是不含基礎(chǔ)偶數(shù)的通解偶數(shù). 例外偶數(shù)至今舉不出1例.

比如3+5=8，8就是互異型的可表偶數(shù)，3+3=6，2+2=4，6和4就不是互異型的可表偶數(shù)，雖然6是可用兩素?cái)?shù)之和表達(dá)的可表偶數(shù)，但本文定義的可表偶數(shù)不包含6和4，僅討論≥8的所有偶數(shù)情形，這是為了讓可表偶數(shù)能順利地在彼此互素的本原解方程中進(jìn)行推演，因?yàn)榛ギ惏娴母绲掳秃詹孪氡葰W拉版的更深刻，互異版成立，歐拉版就成立，歐拉版成立，尚不能推出互異版成立.

3.1.

◎“互異型可表偶數(shù)蘊(yùn)含所有素?cái)?shù)因子”定理：素?cái)?shù)二元相加再分解運(yùn)算在所有奇素?cái)?shù)因子集上封閉. 以下是第一種證明方法.

證明：若互異型可表偶數(shù)2m=p+q，p、q 為互異奇素?cái)?shù)，則p+q中的所有奇素?cái)?shù)因子，與p或q中的所有奇素?cái)?shù)因子是一樣的. 左右兩邊的奇素因子，解集等價.

我們來證明2p是可表偶數(shù)，蘊(yùn)含所有素因子，則2m就蘊(yùn)含所有素因子.

首先令2m（含2^w）為可表偶數(shù)，可表偶數(shù)就是能用兩互異奇素?cái)?shù)之和表達(dá)的偶數(shù)，2p′為例外偶數(shù)，例外偶數(shù)就是不能用兩互異奇素?cái)?shù)之和表達(dá)的其它偶數(shù)，p、p′為互異奇素?cái)?shù)，它們的并集q須囊括所有奇素?cái)?shù)和偶素?cái)?shù)2。那么必有 2p′+2p=2t（即偶數(shù)加偶數(shù)仍在偶數(shù)的集合里），p′與p作為單素?cái)?shù)因子因互異而互素，根據(jù)三元方程若兩元互素必三元兩兩互素的性質(zhì)，p與t必解集基底互素，p′與t必解集互素。為何會解集基底互素？如果全都是可表偶數(shù)2p1與2p2相加，其和值是不會與可表偶數(shù)解集互素的，因?yàn)楹椭禃a(chǎn)生其它可表偶數(shù)或其它可表偶數(shù)共因子.

但與例外偶數(shù)2p′相減就不同了，p′除了與p因互異會解集互素外，p′還與t解集互素也解集基底互素，因較大素?cái)?shù)p′在t與2t中，且t不為1因子（伯特蘭定理），故龍頭例外素?cái)?shù)與和值因子t是解集互素的，也是基底互素的. 2p可通過1.4三元方程解集互素推論來證明是可表偶數(shù)，例外素?cái)?shù)p′與可表素?cái)?shù)p根據(jù)定義是解集互素的，p′與t是解集基底互素的. 另外p′+p=t為三元互素方程，且p≠t，因?yàn)閜是奇數(shù)，t是偶數(shù). 于是根據(jù)1.4推論，p與t是解集基底互素的，如此t就與p和p′皆解集基底互素，根據(jù)基底互素的定義，t的龍頭數(shù)須同每一個p都不一樣的新素因子，于是t中的新素?cái)?shù)因子要同所有的素因子包括2因子不一樣，而p和p’已經(jīng)囊括了所有的素因子，故t為空集，p’不存在，從而證明了所有的2p都是可表偶數(shù)，2p蘊(yùn)含所有素因子.

用更詳細(xì)的語言表達(dá)就是，由于構(gòu)造初項(xiàng)t的素因子始終要與p及p′累積互素(基底互素)，即同每個p和每個p’相比都有互異因子，其結(jié)果，導(dǎo)致要與所有的奇素?cái)?shù)p∪p′互異而互素, p1與所有的p′都是互素的，根據(jù)整數(shù)三元方程兩兩互素定理，故初項(xiàng)t與p1是基底互素的，t中的新素因子必在p1的互補(bǔ)集里；在與p1互補(bǔ)的基礎(chǔ)上，p2與所有的p′都是互素的，故初項(xiàng)t與p2是基底互素的，t中的新素因子必在p2的互補(bǔ)集里；在與p1、p2互補(bǔ)的基礎(chǔ)上，p3與所有的p′都是互素的，故初項(xiàng)t與p3是基底互素的，t中的新素因子必在p3的互補(bǔ)集里；在與p1、p2、…，pn互補(bǔ)的基礎(chǔ)上，pn與所有的p′都是互素的，故初項(xiàng)t與pn是基底互素的，t中的新素因子必在pn的互補(bǔ)集里。由于基底互素是包含兩解集之間有共素因子數(shù)的，但共素因子代表重復(fù)篩查，不會給補(bǔ)集帶來新變化，故可不計(jì)，它們都在不共素因子的子集中，只找每項(xiàng)互異因子的補(bǔ)集之交集便可. 

同樣，初項(xiàng)t與p′1是互素的，t中的新素因子必在p′1的互補(bǔ)集里；在與p′1互補(bǔ)的基礎(chǔ)上，p′2與所有的p都是互素的，故初項(xiàng)t與p′2是互素的，t中的新素因子必在p′2的互補(bǔ)集里；在與p′1、p′2互補(bǔ)的基礎(chǔ)上，p′3與所有的p都是互素的，故初項(xiàng)t與p′3是互素的，t中的新素因子必在p′3的互補(bǔ)集里；在與p′1、p′2、…，p′n互補(bǔ)的基礎(chǔ)上，p′n與所有的p都是互素的，故初項(xiàng)t與p′n是互素的，t中的新素因子必在p′n的互補(bǔ)集里。因互異定義條件，t中的新素因子須重合在不同的補(bǔ)集里，這是集族交運(yùn)算.于是可得到：

“例外偶數(shù)2p′+可表偶數(shù)2p=2t”中的新素因子=Cu（p1中的素因子）∩Cu（p2中的素因子）∩Cu（p3中的素因子）∩Cu（p4中的素因子）∩……Cu（pn中的素因子）∩Cu（p′1中的素因子）∩Cu（p′2中的素因子）∩Cu（p′3中的素因子）∩Cu（p′4中的素因子）∩……Cu（p′n中的素因子）。根據(jù)摩根律“補(bǔ)的交等于并的補(bǔ)”可得：

“例外偶數(shù)2p′+可表偶數(shù)2p=2t”中的t素因子=Cu{（p1中的素因子）∪（p2中的素因子）∪（p3中的素因子）∪（p4中的素因子）∪……（pn中的素因子）∪p′1中的素因子）∪（p′2中的素因子）∪（p′3中的素因子）∪（p′4中的素因子）∪……∪（p′n中的素因子）}= Cu全體素因子= ?。 

如此t就沒有新奇素因子可構(gòu)造，加上2p1+2p2 =2^w ，而2^w存在2^3=3+5為可表偶數(shù)，t與偶素?cái)?shù)2也互異，故例外偶數(shù)2p′不存在。從而證明所有素?cái)?shù)的兩倍所得2p都是可表偶數(shù)，皆能用兩個互異的奇素?cái)?shù)之和表示。從而也證明了，可表偶數(shù)集合2m蘊(yùn)含了所有的素?cái)?shù)因子. 這就是可表偶數(shù)蘊(yùn)含所有素因子定理的證明. 

3.2.

◎“互異型可表偶數(shù)蘊(yùn)含所有素?cái)?shù)因子”定理： 令2m為可表偶數(shù)，p+q=2m是同構(gòu)表達(dá)，左右是單滿射關(guān)系，則2m與 p、q 每次三元互素，但三元累積解集彼此一定是非互素的，當(dāng)允許m與p、q非互異時，m同p、q一樣必定蘊(yùn)含所有奇素因子，且還蘊(yùn)含偶素因子2. 即素?cái)?shù)二元相加再分解運(yùn)算在所有奇素?cái)?shù)因子集上封閉. 以下提供該定理的第二種證明方法.

證明：令每次 p＞q，且皆為任意奇素?cái)?shù)，p、q 的累積解集由定義可知是相同的，皆蘊(yùn)含所有奇素?cái)?shù)，故 p、q 二元累積解集非互素?，F(xiàn)假設(shè)三元累積解集m欠缺奇素?cái)?shù)r，那么這會與p、q含所有奇素?cái)?shù)的推論相矛盾。該推論是，根據(jù) p、q皆為奇素?cái)?shù)全集，可令其子集不含奇素?cái)?shù) r，r ＜ p，r 就是 p、q的真子集在全集奇素?cái)?shù)上的補(bǔ)元，而p+q能生成互素補(bǔ)元因子r，包括2因子，這是由三元互素方程 p+q=2m 的性質(zhì)決定的。可令方程兩邊的解集互素，左邊的素?cái)?shù)解集互素生成了右邊的素?cái)?shù)解集，即左邊為任意奇素?cái)?shù)，可取r解集生成右邊的非r解集，反過來，也可取非r的解集生成右邊的r解集。根據(jù)三項(xiàng)互素方程性質(zhì)，若p+q=p1p2p3 ....pi ...pk(不同序列號的素因子可表相同素因子，但不含素?cái)?shù)r因子)，則一定p或q ∈ r；同理，若p，q 不含素?cái)?shù) r，p+q=p（k+1）p（k+2）p（k+3）...p（k+n），則一定p（k+1），p（k+2），p（k+3），...p（k+n） ∈ r，）即新的素?cái)?shù)之和必存在p+q=Πpi+Πpk=r，,則r中的素因子屬于r.

因左邊 p，q為全集奇素?cái)?shù)，故右邊m欠缺r因子就會與該結(jié)論相矛盾. 因此m必定蘊(yùn)含所有素因子的推論就獲得了證明.

3.3.

◎“互異型可表偶數(shù)蘊(yùn)含所有素?cái)?shù)因子”定理：素?cái)?shù)二元相加再分解運(yùn)算在所有奇素?cái)?shù)因子集上封閉. 以下提供該推論的第三種證明方法.

證明：假如可表偶數(shù)中不含奇素因子r，其中 r＜p，由伯特蘭-切比雪夫定理（上文1.1已證）得到，大于6的所有偶數(shù)可用三項(xiàng)互素方程表達(dá)，即2n=p+kq，p＞n，當(dāng)且僅當(dāng) k ≠ 1，gcd（r，p）=1，則2r是例外偶數(shù)，2r=p+kq 必每次三項(xiàng)互素。例外偶數(shù)存在本原解，才有更多通解，于是我們來考察有三項(xiàng)互素性質(zhì)的本原解方程.

為何可表偶數(shù)的本原解方程可以每次三元互素但累積解集非三元互素呢？

是因?yàn)槎x允許p與q解集相同, 而例外偶數(shù)的本原解方程則要求，不但（2m、p、kq）每次三元互素，且kq的每次解還必須與q的所有解互異（k ≠ 1），因互異必相鄰互素（kq 滿足乘法交換律）, 由于可表偶數(shù)是任意兩奇素?cái)?shù)的和，說明kq同p、q 的所有累積解集仍三元基底互素。關(guān)于會存在累積互素的一個硬核原因，就是k≠1，p會始終大于r中素因子，故p解集與r解集是互素的，另外根據(jù)定義p解集與q解集是互素的，再根據(jù)1.4定理，r解集與q解集必是基底互素的.

于是可推得p不但同2r與kq每次互素，且會累積解集三元基底互素，而生成元p解集是奇素?cái)?shù)全集，既然 r與p基底互素，那r就是奇素?cái)?shù)空集，既然k、q與p互素，那 k、q 就是奇素?cái)?shù)空集. 可見本原解非可表偶數(shù)2r不存在，其通解自然不存在，于是反證了可表偶數(shù)必囊括全部奇素?cái)?shù)因子及2素?cái)?shù)因子. 

4.0.

◎“歐拉版哥德巴赫猜想”定義：哥德巴赫提出猜想“任何一個大于6的奇數(shù)都可以寫成3個素?cái)?shù)之和”，但證明不出，于是寫信向歐拉請教. 歐拉回信，表示也證明不出，但歐拉把問題歸約為一個更強(qiáng)命題，任何一個大于2的偶數(shù)都可以寫成2個素?cái)?shù)之和. 偶數(shù)可用兩素?cái)?shù)表達(dá)為真，則奇數(shù)就可用三素?cái)?shù)表達(dá)為真，反之不能直接推出. 即2n=p+q，n＞0，p和q為素?cái)?shù)，該猜想就是歐拉版哥德巴赫猜想.

◎“互異版哥德巴赫猜想”定義：筆者把歐拉版哥德巴赫猜想進(jìn)一步歸約為一個更強(qiáng)命題，任何一個大于6的偶數(shù)都可以寫成2個互異的奇素?cái)?shù)之和. 互異版哥德巴赫猜想為真，則歐拉版哥德巴赫猜想就為真，反之不能直接推出. 即2n=p+q，n＞3，p和q為互異的奇素?cái)?shù)，這就是互異版哥德巴赫猜想.

4.1.

◎“例外偶數(shù)是空集”定理：例外偶數(shù)因無基底解，導(dǎo)致無通解. 不蘊(yùn)含生成元的擴(kuò)域集是不存在的，拋棄同類中的異類也就等于拋棄自己.

證明：與可表偶數(shù)互異存在的例外偶數(shù)，因互異而至少有例外偶數(shù)首項(xiàng)生成元與可表偶數(shù)相鄰，例外偶數(shù)與可表偶數(shù)之間以及例外偶數(shù)與不同例外偶數(shù)之間，因須首項(xiàng)偶數(shù)相鄰互素，故始終沒有非2公約數(shù)，例外偶數(shù)首項(xiàng)生成元與可表偶數(shù)因互異而必有首項(xiàng)相鄰，因相鄰而必須m與h基底互素（自然數(shù)相鄰互素定理已證）.

而上文2.4已證明，可表偶數(shù)2m中的m蘊(yùn)含所有素因子，h既然要與所有的素因子互素，在三元方程m+1=h中，由于解集m與1互素，解集h與1互素，加上根據(jù)定義m與h是互異解集，故解集m必與解集h基底互素。也就是說，例外偶數(shù)的素?cái)?shù)因子被所有基本偶數(shù)的素?cái)?shù)因子所篩選，從而沒有素?cái)?shù)來構(gòu)造它.. 

h就不存在能超越素?cái)?shù)全集的新素?cái)?shù)因子，故首項(xiàng)例外偶數(shù)2h中的h無新素因子可構(gòu)造，因此首項(xiàng)例外偶數(shù)2h是空集，偶數(shù)0不是空集，既然無首項(xiàng)例外偶數(shù)，當(dāng)然也就不存在后繼例外偶數(shù). 故例外偶數(shù)是空集.

總結(jié)下就是，因兩類偶數(shù)互異，c不等于1，導(dǎo)致例外偶數(shù)與可表偶數(shù)不但會在素?cái)?shù)個數(shù)上無窮無漏互異，還會在素?cái)?shù)種類上無窮無漏互異。例外偶數(shù)通過與可表偶數(shù)在兩類性質(zhì)上區(qū)分，從而被判定為空集.即可表偶數(shù)與例外偶數(shù)存在相鄰關(guān)系和全體互異關(guān)系的方程中，2m+2=2m'，故必有：

例外偶數(shù)2m'中的新素因子=Cu（m1中的素因子）∩Cu（m2中的素因子）∩Cu（m3中的素因子）∩Cu（m4中的素因子）∩……∩Cu（mi中的素因子）. 

根據(jù)摩根律“補(bǔ)的交等于并的補(bǔ)”，又因?yàn)?p是已證明的可表偶數(shù)，蘊(yùn)含所有素因子.可得： 

例外偶數(shù)2m’中的新素因子=Cu{（m1中的素因子）∪（m2中的素因子）∪（m3中的素因子）∪（m4中的素因子）∪……∪（mi中的素因子）}= Cu全體素因子 =?. 

例外偶數(shù)2m’中的新素因子為空集，當(dāng)然例外偶數(shù)也就等于空集，即2m' =?.

4.2.

◎“互異版兩素?cái)?shù)”定理（哥德巴赫猜想的歸約命題）：不小于 8 的所有偶數(shù)皆可表為兩互異奇素?cái)?shù)之和. 哥德巴赫猜想的原題是：p+q=2n為同構(gòu)方程，p、q為素?cái)?shù)，n為大于1的正整數(shù).（用“三元方程互異解集基底互素”定理完成證明）

證明：既然用“三元方程互異解集基底互素”定理完成證明了例外偶數(shù)2h是空集，根據(jù)不小于8的所有偶數(shù)2n等于可表偶數(shù)2m與例外偶數(shù)2h的兩類偶數(shù)并集，可推得不小于8的所有偶數(shù)2n與可表偶數(shù)2m是無縫重合，是完全同構(gòu)的，故不小于8的所有偶數(shù)2n也就同可表偶數(shù)2m一樣，與兩互異奇素?cái)?shù)之和p+q同構(gòu)，互異版哥德巴赫猜想到此獲證. 補(bǔ)上非互異版的 3+3=6，2+2=4，歐拉版的哥德巴赫猜想原題也就獲證.

4.3.

哥德巴赫猜想獲證的路徑總結(jié)和其它證法

為何不能直接用歐拉版的可表偶數(shù)來證明哥德巴赫猜想？因?yàn)闅W拉版的可表偶數(shù)不能納入三元互素方程來分析. 況且歐拉版獲證不及互異版獲證更有意義，因?yàn)樗写笥?的偶數(shù)都有共軛素?cái)?shù)對，且共軛差都大于0，意味著可用p以內(nèi)的素?cái)?shù)進(jìn)行二元加性表達(dá)找到新增素?cái)?shù)是可確定的，意味著可以用較小素?cái)?shù)推導(dǎo)出較大素?cái)?shù).

以往數(shù)學(xué)家攻克哥德巴赫猜想大多把注意力都用在了先解決哥德巴赫猜想的推論命題，如1920年挪威數(shù)學(xué)家布朗開創(chuàng)的“a+b”思路，解決了“9+9”，把這一思路做到極致的是陳景潤，陳景潤拿下了“1+2”，可不回到證明“1+1”，那都解決不了根本. 另外，1930 年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家什尼爾列曼開始尋找另一個思路，用k個素?cái)?shù)之和表達(dá)偶數(shù)，可把它叫著“1+1+1+1……”問題，也仍是哥德巴赫猜想的推論命題. 這一思路陶哲軒做得最好，他減少到了用不超過5個素?cái)?shù)表示大于1的自然數(shù)，且去掉了充分大這樣一個需要大量驗(yàn)證的限制條件.

研究哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家很多很多，但未見直接去關(guān)心哥德巴赫猜想可歸約命題的，總以為歸約命題更難，更解決不了. 這是誤解，未解猜想的歸約命題是更重要，未必是更難的. 互異型哥德巴赫猜想是歐拉版哥德巴赫猜想的歸約命題，當(dāng)然更重要，但卻打開了可破解的大門. 帶著解決問題的初心，本文作者找到了哥德巴赫猜想的歸約命題，互異型哥德巴赫猜想，不小于8的每個偶數(shù)都可用一對互異的奇素?cái)?shù)之和表達(dá)，它比混搭型的歐拉版哥德巴赫猜想要條件苛刻得多.

哥德巴赫猜想獲證的秘密究竟在哪里呢？到此可2句話總結(jié)了：一是因?yàn)槔馀紨?shù)2p'與可表偶數(shù)2p全體互異于2t必帶來累積解相鄰互素（基底互素），而累積解相鄰互素必導(dǎo)致無素因子可構(gòu)造2t，故可表偶數(shù)2p蘊(yùn)含所有素因子. 二是因?yàn)槔馀紨?shù)2m’與可表偶數(shù)2m互異必帶來累積解相鄰互素（基底互素），而累積解相鄰互素必導(dǎo)致無素因子可構(gòu)造例外偶數(shù)2m’. 基底互素的思想還可直接證明哥德巴赫猜想成立，任意中位數(shù)的2倍沒有共軛素?cái)?shù)對是不存在的，因?yàn)閮H新增不小于中位數(shù)2倍以上的素?cái)?shù)，無法相加構(gòu)造2倍中位數(shù)，而沒有共軛新增素?cái)?shù)意味著1倍也不新增，這就說明了用小于中位數(shù)的多個素?cái)?shù)相加也不等價于兩個共軛素?cái)?shù)相加，但這是不可能的，因?yàn)榕c它們的和集互素的兩個互異集是基底互素的，不增添新素因子的互異解集會與基底互素矛盾，這意味著定有大于中位數(shù)的共軛新素?cái)?shù). 這就是哥德巴赫猜想成立的根本原因，原來證明哥德巴赫猜想就是揭示例外偶數(shù)是烏托邦. 關(guān)于偶數(shù)的最簡本原解方程“p+q=2n”，其內(nèi)積通解“ap+bq=2cn”無法擴(kuò)域.

所有大于6的偶數(shù)都是兩個奇素?cái)?shù)向量（ap+bq）=2n所張成的空間, 標(biāo)量（a+b）是基底（p+q）的線性映射所對應(yīng)的系數(shù)組向量，而基底不存在時的類型偶數(shù)空間2h為空集，因?yàn)榫€性空間必有二維素?cái)?shù)基底，沒有基底的線性空間必為空集. 例外偶數(shù)的定義決定了，該類型空間沒有基底，因?yàn)?h≠p+q，故例外偶數(shù)2h的通解（位移和旋轉(zhuǎn)）不存在，利用線性代數(shù)的思想可以簡潔證明例外偶數(shù)為空集. 

◎“線性空間必有二維素?cái)?shù)基底”定理：二維奇素?cái)?shù)解向量（p，q）內(nèi)積一個矩陣A，就能張成大于6的所有的偶數(shù)空間2n，無二維素?cái)?shù)基底，必?zé)o該類線性空間的通解.

證明：教科書里雖然沒有“線性空間必有二維素?cái)?shù)基底”的定理，但根據(jù)“二維線性空間必有基底”這個更廣義的定理不難證明，“線性空間必有二維素?cái)?shù)基底”的定理也是成立的. 因?yàn)槿魏我粋€實(shí)數(shù)對象，都是整數(shù)構(gòu)造的，而整數(shù)在算術(shù)基本定理的前提下，都能至少抽離出一個素因子，這也符合選擇公理的思想，因此二維素?cái)?shù)向量（p，q）內(nèi)積一個矩陣A，就能張成所有的偶數(shù)空間. 如果類型偶數(shù)不存在基底（p，q），那該類型空間就是空集. 例外偶數(shù)就不存在二維素?cái)?shù)基底，這由例外偶數(shù)的定義決定，其同類對象皆不能用兩個奇素?cái)?shù)之和表達(dá)，故例外偶數(shù)為空集. 為何真分?jǐn)?shù)和整數(shù)互異卻存在呢？因?yàn)檎娣謹(jǐn)?shù)作為有理數(shù)，是允許整數(shù)作為其同類的. 不包含整數(shù)卻又與整數(shù)互異的有理數(shù)是不存在的. 既然例外偶數(shù)為空集，那可表偶數(shù)與所有偶數(shù)就等價了，哥德巴赫猜想也就獲證了. 例外偶數(shù)與可表偶數(shù)累積互異互素的思想也印證了，沒有二維素?cái)?shù)基底就沒法張成任意空間. 如果張成某類型空間不擴(kuò)域，那基底表達(dá)與該類型空間等價. 

◎“互異版兩素?cái)?shù)”定理（用線性代數(shù)證明）：不小于8的所有偶數(shù)皆可表為兩互異奇素?cái)?shù)之和.

證明：根據(jù)“線性空間必有二維素?cái)?shù)基底”定理，可推理出例外偶數(shù)是空集，因?yàn)槔馀紨?shù)無二維素?cái)?shù)基底，故為空集，又因?yàn)?，大?的所有偶數(shù)2n是可表偶數(shù)與例外偶數(shù)的并集，于是所有偶數(shù)2n與可表偶數(shù)2m同構(gòu)，2m的通解就是2n，都能用兩互異素?cái)?shù)之和表示，如此可證，互異版哥德巴赫猜想成立.

因此哥德巴赫猜想可完成存在性證明，至于每個偶數(shù)可由哪兩個素?cái)?shù)構(gòu)成，還不能給出具體公式，但發(fā)現(xiàn)二維素?cái)?shù)基底在線性映射下偶數(shù)集不擴(kuò)域的思想可廣泛用到很多算法領(lǐng)域，一切高維問題皆可降維到低維問題來處理, 故意義十分重大.

4.3.0

◎“數(shù)論倒數(shù)解以及余數(shù)解“定義：中國剩余定理表明任意整數(shù)用不同素?cái)?shù)模對應(yīng)不同余數(shù)的不定方程組有特定解法，若X≡a（mod）p，X≡b（mod）q，則可推得X=asp+btq+kpq，我們把s和t叫數(shù)論倒數(shù)，是可以幫助獲得不同模數(shù)卻都與1同余的匹配量，把s和t叫著模p和q的數(shù)論余數(shù)，把奇素?cái)?shù)p和q叫同余方程的素?cái)?shù)模.

◎“模積數(shù)乘解”定義：中國剩余定理根據(jù)數(shù)論倒數(shù)推得X=asp+btq+kpq，其中kpq

就是模積數(shù)乘，通過模積數(shù)乘周期可以得到不同數(shù)域?qū)哟蔚耐ń? 中國剩余定理說明了，大額整數(shù)都被一對素?cái)?shù)部件布控.

4.3.1

◎“數(shù)論倒數(shù)解以及余數(shù)解必有模素?cái)?shù)解”定理：根據(jù)X- kpq =asp+btq，當(dāng)s=1，t=1, a、b同左邊稠密偶數(shù)可約化為1，asp+btq=可表偶數(shù)，由于t、s和a、b分別是素?cái)?shù)模p、q的余數(shù)和數(shù)論倒數(shù)，而例外偶數(shù)構(gòu)造不出兩互異素?cái)?shù)周期模，例外偶數(shù)也就構(gòu)造不出余數(shù)和數(shù)論倒數(shù)，沒有模數(shù)，就構(gòu)造不出匹配的余數(shù)和數(shù)論倒數(shù).

證明：根據(jù)中國剩余定理X=asp+btq+kpq可推出，沒有模素?cái)?shù)解，就沒有數(shù)論倒數(shù)解和余數(shù)解。例外偶數(shù)沒有模素?cái)?shù)解，故沒有數(shù)論倒數(shù)解和余數(shù)解。根據(jù)數(shù)論倒數(shù)的定義，數(shù)論倒數(shù)為s、t，而sp、tq與1同余分別模q、p兩素?cái)?shù)，kpq為模積數(shù)乘，即任意給定的偶數(shù)皆可如此表示，X=asp+btq+kpq，其中asp+btq可表達(dá)所有偶數(shù). 因?yàn)槿我馀紨?shù)減去模積數(shù)乘仍是任意偶數(shù)，稠密偶數(shù)集減去任意類型偶數(shù)集都仍是稠密偶數(shù)集. X能通解表達(dá)的前提是必須能用二項(xiàng)式素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系描述，凡素?cái)?shù)多項(xiàng)式都是素?cái)?shù)二項(xiàng)式的線性映射，這個剛已經(jīng)完成證明。因?yàn)榫€性映射沒有素?cái)?shù)基礎(chǔ)解系，等價于沒有單位元，沒有素?cái)?shù)二項(xiàng)式最簡本原解，就沒有素?cái)?shù)多項(xiàng)式的類型通解，因?yàn)槔馀紨?shù)沒有二維素?cái)?shù)基底，故例外偶數(shù)不存在.

這也是中國剩余定理所隱含的秘密. 線性空間必有二維素?cái)?shù)基底，這個通過中國剩余定理也能推導(dǎo)出來，根據(jù)X- kpq =asp+btq，當(dāng)s=1，t=1, a、b同左邊稠密偶數(shù)可約化為1，asp+btq=可表偶數(shù)，由于t、s和a、b分別是模數(shù)p、q的余數(shù)和數(shù)論倒數(shù)，而例外偶數(shù)構(gòu)造不出兩互異素?cái)?shù)模數(shù)，例外偶數(shù)也就構(gòu)造不出余數(shù)和數(shù)論倒數(shù)，沒有模數(shù)，就構(gòu)造不出匹配的余數(shù)和數(shù)論倒數(shù)，這由數(shù)論倒數(shù)的定義決定，基底向量與系數(shù)向量在刻畫一類對象時存在強(qiáng)相關(guān)，這一點(diǎn)是反直覺的，沒有基底向量就沒有通解，這個好理解，通解需要單位元，而沒有基底向量就沒有系數(shù)向量，似乎有點(diǎn)“管控得太寬”, 可偏偏基底向量與系數(shù)向量就屬強(qiáng)相關(guān)，這是因?yàn)樗匾蜃有枰獫M足乘法交換律和加法交換律.導(dǎo)致他們各素因子的定義域是相同的，基底解不含的素?cái)?shù)，系數(shù)向量也不具有，故數(shù)論倒數(shù)和余數(shù)也不具有.

◎“互異版兩素?cái)?shù)”定理（用中國剩余定理的推論證明）：不小于8的所有偶數(shù)皆可表為兩互異奇素?cái)?shù)之和.

證明：這樣就可以通過中國剩余定理的推論“數(shù)論倒數(shù)解必有模素?cái)?shù)解”定理，來快速證明互異版哥德巴赫猜想成立了. 因?yàn)槿我忸愋团紨?shù)若沒模素?cái)?shù)解，就沒有數(shù)論倒數(shù)解，沒有數(shù)論倒數(shù)解，就沒有數(shù)論余數(shù)解，沒有前兩種解，就沒有模積數(shù)乘解，因此該類型偶數(shù)就不存在，故任意類型偶數(shù)的并集都屬于兩模素?cái)?shù)的和，除此之外的任意類型擴(kuò)域都不存在. 不蘊(yùn)含生成元的擴(kuò)域集是不存在的，拋棄同類中的異類也就等于拋棄自己. 任意類型偶數(shù)沒有模素?cái)?shù)解就沒有任何通解,

中國剩余定理的推論闡述了，系數(shù)向量與基底向量是緊密關(guān)聯(lián)的，確定了兩素?cái)?shù)基底也就確定了兩數(shù)論倒數(shù)，而余數(shù)是小于模素?cái)?shù)的，模積數(shù)乘也是由兩模素因子確定的，且倍數(shù)k中素因子也要滿足乘法交換律，其定義域與模素因子相同. 如果某類偶數(shù)要排除某類素?cái)?shù)基底（含所有奇素?cái)?shù)），等于要排除余數(shù)各素因子的定義域，數(shù)論倒數(shù)各素因子的定義域，以及模積數(shù)乘各素因子的定義域，于是該類型偶數(shù)必不存在. 于是例外偶數(shù)為空集，哥德巴赫猜想獲證. 該證明簡潔漂亮，容易理解.

隨著哥德巴赫猜想獲證，可多米諾骨牌式地證明齋藤猜想、孿生素?cái)?shù)猜想、波利尼亞克猜想、相鄰素?cái)?shù)猜想，考拉茲猜想、比爾猜想、費(fèi)馬猜想、abc猜想、黎曼假設(shè)等成立，見筆者拙著《數(shù)學(xué)底層引擎相鄰論和重合法》（海天出版社2019年9月），可見哥德巴赫猜想告破決非孤證，相關(guān)內(nèi)容以后陸續(xù)翻譯推出. 下文僅簡單介紹下，能用本文數(shù)學(xué)工具證明“相鄰素?cái)?shù)猜想”和”孿生素?cái)?shù)猜想“，小試牛刀就足見其威力.

◎“相鄰素?cái)?shù)間隔之可表偶數(shù)”定義：兩個任意相鄰奇素?cái)?shù)p與q相減所得到的所有偶數(shù)2m（其中存在整數(shù)m＞0）叫可表偶數(shù)，也叫基礎(chǔ)偶數(shù).

◎“相鄰素?cái)?shù)間隔之例外偶數(shù)”定義：與相鄰素?cái)?shù)間隔之可表偶數(shù)互異的所有偶數(shù)2h叫相鄰素?cái)?shù)間隔之例外偶數(shù)，也叫非相鄰素?cái)?shù)間隔之基礎(chǔ)偶數(shù)，是不含基礎(chǔ)偶數(shù)的通解偶數(shù). 該類型例外偶數(shù)也至今舉不出1例. 

同樣可證明，三元方程p-q=2m，p-p’=2t（2m為可表偶數(shù)，2t≠2m，2t為例外偶數(shù)，p，q為所有相鄰素?cái)?shù)，p’為非相鄰素?cái)?shù)），可證明例外偶數(shù)2t為空集. 因?yàn)閜與q是解集互素的，假如m不含w素因子，那么選取不含w素因子的p和q為互素解集，還可令m與q也是解集互素的（因?yàn)榭蛇x擇先考察這樣的解集），2m與p是解集互異的，因?yàn)?個偶數(shù)1個奇數(shù)，于是構(gòu)造出的可表偶數(shù)p-q=2m必有w素因子. 理由是，根據(jù)1.4三元方程互異解集基底互素定理，三元方程中，在兩組解集互素，第三組解集互異的前提下，可推出m必含與p和q互異的w素因子，這與假設(shè)矛盾，可見m不含w素因子不真. 可表偶數(shù)2m必含所有素因子. 

而龍頭例外偶數(shù)2t=2m+2，因?yàn)?與m和t解集互素，t與m互異，同樣根據(jù)1.4三元方程互異解集基底互素定理可推出t必有與m解集互異的素因子，但m中所含的素因子為全集，故2t為空集. 以此證明了“相鄰素?cái)?shù)間隔之例外偶數(shù)”的后繼偶數(shù)也不存在，因此相鄰素?cái)?shù)間隔可表所有偶數(shù)獲證.

用此數(shù)學(xué)工具來證明孿生素?cái)?shù)猜想也極容易. 令N為任意給定的正整數(shù)，p為大于N的素?cái)?shù)，q為大于N的奇數(shù)，存在三元互素方程表達(dá)如下：q-p=2.

可知2與p是解集互素的，2與q是解集互素的，p與q是解集互異的，根據(jù)1.4三元方程互異解集基底互素定理可推出p解集與q解集是基底互素的，奇數(shù)q相對于素?cái)?shù)p必會增添新素因子，可是如果q始終是合數(shù)，新素因子t數(shù)乘k后減去p所得差值會遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于2，因?yàn)閠＞p，k≠1，必導(dǎo)致kt-p＞2，故大于N的奇數(shù)q只能選擇存在素?cái)?shù)才能滿足1.4定理，否則與所有素?cái)?shù)都有后繼奇數(shù)相矛盾，于是必有差值等于2的素?cái)?shù)對大于任意給定的N. 而一旦有這樣的素?cái)?shù)對，N就可以選擇比該素?cái)?shù)對更大的整數(shù)，同樣大于更大N的素?cái)?shù)后繼奇數(shù)對（q，p）仍必有兩個都是素?cái)?shù)的，否則會與1.4定理“q存在大于p的新素因子”相矛盾. 歐幾里得證明了素?cái)?shù)是無窮的，利用1.4定理找到無窮素?cái)?shù)的后繼奇數(shù)中必有素?cái)?shù)可反復(fù)進(jìn)行，N可以任意給定，這就證明了差值為2的素?cái)?shù)對具有無窮組，孿生素?cái)?shù)猜想獲證.

相鄰素?cái)?shù)猜想，孿生素?cái)?shù)猜想，哥德巴赫猜想獲證的啟示是，萬物都來自互異的生成元. 我們對另類世界要保持寬容和敬畏.（完）（羅莫）

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