原創(chuàng) 鴿灰 科學(xué)藝術(shù)研究中心

如果你不知道折紙界也有“奧運會”——國際折紙奧林匹克競賽（International Origami Internet Olympiad），那你多半也不知曉作為其必考賽題的“鑲嵌折紙”（Origami Tessellations）。它在折紙藝術(shù)的家族中確乎年輕；1970年代，首個鑲嵌折紙作品才借日本數(shù)學(xué)家藤本修三（Shuzo Fujimoto）之手問世。

要弄清楚什么是鑲嵌折紙，首先要了解“鑲嵌”（Tessellation）。鑲嵌，又常譯為“密鋪”（故也有少數(shù)愛好者使用“密鋪折紙”一詞），指全等形能不重疊、無間隙地鋪滿平面。上至埃舍爾赫赫有名的視錯覺畫作，下至街頭巷尾最尋常的磚鋪路面，你都能找到鑲嵌的存在。

Day and Night (1938), M C Escher. 圖片來自www.researchgate.net鑲嵌地磚，圖片來自google

而鑲嵌折紙則憑借紙張折疊形成的立體結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)這一點，且僅使用一張紙，不經(jīng)剪裁或膠粘；部分鑲嵌折紙不僅正反兩面均為極富觀賞性的鑲嵌圖形，還能任意且順暢地展開復(fù)原，俄羅斯數(shù)學(xué)家葉卡捷琳娜·盧卡舍娃（Ekaterina Lukasheva）的折紙作品便是絕佳的例子。

Ekaterina的鑲嵌折紙作品，圖片來自thisiscolossal你也許會好奇：這一以數(shù)學(xué)概念冠名的折紙，究竟是如何與數(shù)學(xué)相聯(lián)系的？ 讓我們從鑲嵌折紙的基礎(chǔ)開始——扭轉(zhuǎn)（twist）。如同動圖所展示的那樣，白紙中心的正方形隨著折疊轉(zhuǎn)過了90°。正方形平面扭轉(zhuǎn)（Flat Twist）,圖片來自Google

扭轉(zhuǎn)的關(guān)鍵，從圖1的折痕中很容易發(fā)現(xiàn)——以一個凸多邊形為中心，自其每一邊“發(fā)出”兩條折疊方向相異的平行線。這組平行線與邊所成的角度并不是固定的，圖2中可以觀察到角度對紙張重疊面積的影響。

黑色實線代表峰折，折疊方向背離折紙者；粉色虛線代表谷折，折疊方向朝向折紙者。圖片來自Twists, Tilings, and Tessellations，有改動

除了折疊面積，這一角度也決定了扭轉(zhuǎn)的方向（圖3），以及扭轉(zhuǎn)前后中心多邊形轉(zhuǎn)過的角度——后者是前者的兩倍（圖4）。事實上，中心凸多邊形甚至不必是正多邊形，只不過其中所牽涉的幾何學(xué)計算不那么優(yōu)雅罷了。

圖片來自Twists, Tilings, and Tessellations，有改動

單單是作為基礎(chǔ)的扭轉(zhuǎn)似乎已經(jīng)花樣不少；而當(dāng)扭轉(zhuǎn)被鑲嵌理論組合起來，通向無窮可能性的大門豁然洞開。將扭轉(zhuǎn)用其中心多邊形的相似形框起來，它便成為了一只“晶胞”，可以在平面上無限地拼接（圖5、6）。雖說是“晶胞”，但其實這些小單元并不完全相同，其內(nèi)部亦存在著周期性的“手性”變化——以保證折痕的連續(xù)。

圖片來自Twists, Tilings, and Tessellations，有改動

剝?nèi)ヅまD(zhuǎn)的細(xì)節(jié)，僅觀察這些人為添加的橙色邊界，百年前徘徊于伊斯蘭建筑的幾何學(xué)“幽靈”——鑲嵌問題——再次浮現(xiàn)于折紙藝術(shù)（圖7）。簡單的正多邊形經(jīng)過一番似也不如何復(fù)雜的鑲嵌，其扭轉(zhuǎn)而成的鑲嵌折紙卻令人眼花繚亂，理想幾何形抽象而迷人的韻律盤桓其間（圖8、圖9）。

圖片來自Twists, Tilings, and Tessellations，有改動鑲嵌折紙不僅是藝術(shù)，也不僅是幾何學(xué)的具象；它在工程領(lǐng)域的應(yīng)用可能仍在挑戰(zhàn)人們的想象。美國物理學(xué)家、折紙藝術(shù)家羅伯特·朗（Robert Lang）曾說：“折紙最重要的一大屬性是：一旦我們研究并理解了紙張折疊和展開的方式，便可以將這些方式應(yīng)用于與紙張截然不同的事物上?！?img alt="" height="748" width="1024" loading="lazy" data-src="https://imagepphcloud.thepaper.cn/pph/image/145/370/240.jpg" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///ywAAAAAAQABAAACAUwAOw==" data-imageid="145370240">TWO-LAYER SEVEN-FOLD WEAVE, Robert Lang. 圖片來自https://langorigami.com

羅伯特于1988年加入美國航空航天局，在2001年辭職，決定將所有的時間奉獻(xiàn)給折紙——但這并未使他與工程隔絕。2015年，加州勞倫斯利弗莫爾國家實驗室的長投射式望遠(yuǎn)鏡進(jìn)入了測試階段；其設(shè)計顧問便是羅伯特。這種望遠(yuǎn)鏡的光學(xué)鏡片非常的薄，但同時又非常大——其主透鏡直徑可達(dá)100米。

如何將它裝入接近于圓柱形的航天載具？實驗室的工程師從過往文獻(xiàn)中了解到日本衛(wèi)星曾搭載基于折紙的折疊式太陽能電池板，于是順藤摸瓜找到了曾研究計算折紙的羅伯特。

羅伯特在合作的數(shù)月間嘗試將幾種不同的折紙結(jié)構(gòu)應(yīng)用于望遠(yuǎn)鏡，最終敲定了“傘”式——它鏡像對稱，以保持穩(wěn)定自旋；它的折疊狀態(tài)適于在火箭運輸；它可擴(kuò)展，其部件均可大規(guī)模生產(chǎn)……最重要的是，它的展開方式一定使你感到熟悉。

圖片來自O(shè)rigami in Space: BYU-designed solar arrays inspired by origami

就像羅伯特·朗在演講結(jié)尾時指出的那樣：一種新型心臟支架受啟發(fā)自紙折球、而安全氣囊展開算法來自于研究紙折昆蟲的數(shù)學(xué)理論，“這樣的事在數(shù)學(xué)和科學(xué)中常常發(fā)生。當(dāng)你運用數(shù)學(xué)純粹是為了美學(xué)價值或創(chuàng)造美的時候，其結(jié)果卻在現(xiàn)實世界中也具有應(yīng)用價值。這聽起來也許很奇怪——折紙或有一日將救人一命?！?/p>

折紙仍然在蓬勃地發(fā)展著，鑲嵌折紙亦方興未艾；科學(xué)與藝術(shù)必仍在這一方紙上交輝。

Reference:

Gjerde, Eric, Origami Tessellations: Awe-Inspiring Geometric Designs

Lang, Robert J., Twists, Tilings, and Tessellations: Mathematical Methods for Geometric Origami

https://kusudama.me

https://langorigami.com

https://www.ted.com/talks/robert_lang_the_math_and_magic_of_origami

閱讀原文