原創(chuàng) 羅伯特·羅森 集智俱樂部 收錄于話題#必讀經(jīng)典論文13個(gè)

導(dǎo)語

自本文收錄于1995年The universal Turing machine 一書第二版。作者Robert Rosen（1934-1998）是美國理論生物學(xué)家，其研究深入觸及“什么是生命”、“活著的有機(jī)體為什么是有生命的”等基本問題，明確提出還原論不能研究生命，并提出基于關(guān)系的生物學(xué)理論。在這篇文章中，Robert Rosenthal對(duì)于形式系統(tǒng)、可計(jì)算性、自然法則與因果關(guān)系等作出了深刻的闡釋。

羅伯特·羅森 | 作者

苑明理 | 譯者

楊文波 | 審校

鄧一雪 | 編輯

論文題目：

Effective processes and natural law

論文地址：

https://dl.acm.org/doi/10.5555/213990.214014

目 錄

一、引言

二、形式系統(tǒng)中的邱奇論題

三、蘊(yùn)涵與因果

四、邱奇論題在物理上是正確的嗎？

五、模擬的角色

1. 引言

現(xiàn)代科學(xué)史上最引人注目的思想交匯之一，發(fā)生在1931年哥德爾關(guān)于形式不可判定性原始論文發(fā)表[譯注1]與 1943 年麥卡洛克和皮茨關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)著作[譯注2]發(fā)表之間的短短幾年間。在這十二年中，邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)、大腦理論和數(shù)字計(jì)算的可能性之間建立了基本的相互關(guān)系，現(xiàn)在想起來所有這些仍然讓人嘆為觀止。人們當(dāng)時(shí)認(rèn)為，半個(gè)世紀(jì)之后的今天也依然認(rèn)為，這些思想預(yù)示著一場(chǎng)根本性的革命，恰如三個(gè)世紀(jì)前牛頓所取得的進(jìn)展一樣。

圖1. 青年哥德爾；青年圖靈；皮茨和麥卡洛克的合照

阿蘭·圖靈的名字在這些驚人發(fā)展的歷史上是非同尋常的。正是因?yàn)閳D靈，在他1936 年發(fā)表的開創(chuàng)性論文[譯注3]中，通過構(gòu)建以他名字命名的“機(jī)器”類，首次把這些相關(guān)的思想真正并列在一起。首先，圖靈機(jī)是從人類進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算的心理過程中明確推演出來的；其次，它們代表了一種邏輯或算法過程的形式化體現(xiàn)，如同它們?cè)跀?shù)學(xué)中的表現(xiàn)一樣；再者，通過使用“機(jī)”這個(gè)術(shù)語，它們又代表了，利用物質(zhì)過程來擴(kuò)展我們自己的數(shù)學(xué)能力（很快會(huì)通過數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)明來實(shí)現(xiàn)），并且在更深的層次上，為探索生命本身建立一個(gè)新的、強(qiáng)大的隱喻。

圖2. 計(jì)算忙碌海貍問題的圖靈機(jī)

在純粹的數(shù)學(xué)／邏輯的層面上，人們很快認(rèn)識(shí)到，圖靈機(jī)是體現(xiàn)算法概念的許多等價(jià)形式之一。依次來說，算法被認(rèn)為是一個(gè)解決問題的有效過程的縮影。然后，一個(gè)有效過程意味著一種絕對(duì)必要性；它是一個(gè)推理鏈條，對(duì)于從適當(dāng)初始數(shù)據(jù)開始的每一個(gè)情況，它都必須要導(dǎo)向相應(yīng)的那個(gè)答案或解答。更進(jìn)一步，算法是一個(gè)死記硬背的過程，一旦啟動(dòng)，在從數(shù)據(jù)到解答的無休止的過程中，不需要進(jìn)一步的干預(yù)、省察和思考。這就是為什么，現(xiàn)在回想起來，把它體現(xiàn)在一臺(tái)“機(jī)器”上是如此自然，就像圖靈做的那樣。

由于“有效過程”的提法是一個(gè)非形式的、直觀的概念，而“算法”的提法是一個(gè)精確的形式化的數(shù)學(xué)概念，很早就有人提出后者可以取代前者。這正是邱奇論題的實(shí)質(zhì)內(nèi)容[3]，該論題斷言，任何人們想稱之為“有效”的過程，都已可以通過一些適當(dāng)編程的圖靈機(jī)來完成。

圖3. 阿隆佐·邱奇

現(xiàn)在，嚴(yán)格地說，到目前為止所描述的所有討論都是完全形式化的；它們發(fā)生在命題和產(chǎn)生規(guī)則的邏輯和數(shù)學(xué)宇宙中。從某種意義上說，它們都是“軟件”。然而，有趣之處主要集中在這樣一個(gè)事實(shí)：像“機(jī)器”或“有效”這樣的術(shù)語具有非數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，這些內(nèi)涵都從屬于自然物質(zhì)現(xiàn)象的外部世界。事實(shí)上，正如我們已經(jīng)注意到的，圖靈自己設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)機(jī)器是從現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象中抽象得來的，一個(gè)人在進(jìn)行計(jì)算。這種暗示如此不可抗拒地傳達(dá)出，如果人類精神活動(dòng)的這一方面可以“機(jī)械化”，為什么其他方面不可以呢？為什么不可以全部呢？同樣地，如果心理過程，包括在物質(zhì)大腦中發(fā)生的事情（也即在硬件中）可以完全形式地表示，為什么不能有其他類型的物質(zhì)系統(tǒng)（也即其他硬件）可以做與大腦相同的事情？雖然還在胚胎階段，在這里，我們看到了，“人工智能”最廣的推論，和許多其他的意涵。

但是，一旦我們承認(rèn)“機(jī)器”或“有效”這樣的詞具有物質(zhì)意義，我們就離開了數(shù)學(xué)的世界，進(jìn)入了（最廣義的）物理世界。正如我們已經(jīng)提到的，圖靈機(jī)是“純軟件”的，而物理學(xué)則相反，是“純硬件”的。因此，無論是好是壞，我們引入了硬件和軟件之間的根本區(qū)別，它本身并不是我們開始時(shí)所使用的形式理論的一部分；同樣，它也不是物理學(xué)的一部分。正如我們將要看到的，這種區(qū)別是至關(guān)重要的，但是也是隱蔽的，藏在包羅萬象的總稱“機(jī)器”中。從馬丁·戴維斯的《可計(jì)算性和不可解性》[4]一書中， 我們可以看到這種區(qū)別是如何悄無聲息地出現(xiàn)的:

我們?cè)趺茨芘懦骋惶欤ㄒ苍S是某個(gè)外星訪客）給我們一個(gè)（也許是極其復(fù)雜的）設(shè)備或“神諭”來“計(jì)算”一個(gè)不可計(jì)算函數(shù)的可能性呢?

這顯然是在一個(gè)完全形式化的數(shù)學(xué)進(jìn)展背景下提出的最具修辭性的反問句。但是我們?cè)谶@里清楚地看到術(shù)語“機(jī)器”的模糊性，它建立在真實(shí)硬件和邏輯軟件之間的默認(rèn)區(qū)別之上。

圖4. 神諭圖靈機(jī)

長期以來，作者一直為這一問題的深層認(rèn)識(shí)論的推論所困擾[5]。尤其是，一旦我們承認(rèn)“硬件”或物質(zhì)系統(tǒng)進(jìn)入我們的討論（正如我們已經(jīng)指出的那樣，這從一開始就是明確無誤的意圖），那么“有效過程”的概念會(huì)發(fā)生什么變化呢？很久以前[5]，我考慮過邱奇論題在這個(gè)新的背景下意味著什么？特別是：邱奇論題是否是對(duì)物質(zhì)本性的一個(gè)基本限制呢（類似于熱力學(xué)定律排除了永動(dòng)機(jī)）？抑或是相反？如果邱奇論題可以被自然過程破壞，那么遞歸性又會(huì)怎么樣呢？

在這里回顧一下先前論點(diǎn)的要點(diǎn)可能是有用的。假設(shè)我們有一個(gè)物理系統(tǒng) S（也許是戴維斯的外星“計(jì)算機(jī)”）。它的行為受到物理定律的支配，我們通過實(shí)驗(yàn)來了解這些定律。一個(gè)典型的實(shí)驗(yàn)要么對(duì)系統(tǒng)做一些事情（例如，從外部擾動(dòng)它），要么讓系統(tǒng)對(duì)其環(huán)境做一些事情，然后觀察或測(cè)量結(jié)果。顯然，實(shí)驗(yàn)者的干預(yù)和測(cè)量的結(jié)果都是物質(zhì)事件。事件是由數(shù)字來描述或刻畫其特性的，其數(shù)值是由應(yīng)用的合適的量表來決定的[6]。為了簡單起見，假設(shè)我們的實(shí)驗(yàn)干預(yù) α 擁有的屬性是這樣一個(gè)數(shù)值 r(α)，而我們系統(tǒng)的結(jié)果行為由另一個(gè)這樣的數(shù)字刻畫。通過這種方式，我們的實(shí)驗(yàn)者可以生成一個(gè)數(shù)值表，它定義了一個(gè)從數(shù)字到數(shù)字的函數(shù)

(1)

讀者將會(huì)認(rèn)識(shí)到，這個(gè)過程以典型輸入輸出的方式刻畫了我們系統(tǒng) S。函數(shù) f 的形式，清楚地告訴我們支配 S 行為的規(guī)律。畢竟，這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)的全部功用。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)過程在某種意義上是有效的。事實(shí)上，正如我們將在下面詳細(xì)論述的那樣，物質(zhì)系統(tǒng)（例如，在系統(tǒng) S 中）的事件序列是由因果關(guān)系所支配的，這些因果關(guān)系將它們聯(lián)系在一起，就像蘊(yùn)涵關(guān)系將命題無可避免地聯(lián)系在一起一樣。因此，如果我們的實(shí)驗(yàn)過程是可復(fù)現(xiàn)的（這意味著 S 中相同的因果序列可以隨意重建），那么邱奇論題

必須意味著任何輸入輸出函數(shù)f ，從我們已經(jīng)描述過的任何物質(zhì)系統(tǒng) S 中生成，它必須是遞歸的或可計(jì)算的。否則，系統(tǒng) S 將正是戴維斯向我們保證排除在可能性之外的那種“計(jì)算機(jī)”。

從這個(gè)角度來看，邱奇論題試圖從軟件（算法）的前提中得出關(guān)于硬件（物理學(xué)）的推論或結(jié)論。馮·諾依曼關(guān)于“自我復(fù)制”的論點(diǎn)[7]體現(xiàn)了另一種眾所周知的同樣嘗試。在這里，我們的目的是從一個(gè)關(guān)于計(jì)算的形式理論中學(xué)習(xí)到關(guān)于物質(zhì)系統(tǒng)（特別是有機(jī)體）的行為的某些方面。不出所料，這類嘗試風(fēng)險(xiǎn)極大，但如果能成功實(shí)現(xiàn)，回報(bào)將是巨大的。

圖5. 運(yùn)行中的第一個(gè)為人所知的自復(fù)制機(jī)

至少，我們可能已經(jīng)看到，在形式理論中引入“硬件”的概念將產(chǎn)生一些特殊的結(jié)論。而當(dāng)我們?cè)噲D把“軟件”的概念引入物理學(xué)時(shí)，互補(bǔ)的結(jié)論就出現(xiàn)在另一方面。然而，這些特殊的結(jié)論將告訴我們一些關(guān)于這兩者的有趣事情。在本文的其余部分，我們將探索這種可能性。

2. 形式系統(tǒng)中的邱奇論題

邱奇論題的實(shí)質(zhì)是，把任何形式系統(tǒng)中的邏輯推理與字符串處理等同起來。然后，字符串處理或字處理是一種純粹的語法活動(dòng)。字符串處理，當(dāng)然，正是圖靈機(jī)所做的。盡管如此，從表面上看，這似乎是一個(gè)非常強(qiáng)的、或許有些過于強(qiáng)的條件，它要求形式系統(tǒng)中的每一個(gè)推理，都應(yīng)該只用語法項(xiàng)來表達(dá)；也就是說，從前提到結(jié)論的每一個(gè)步驟，都應(yīng)該完全通過，對(duì)這些編碼了的命題的符號(hào)進(jìn)行操作來實(shí)現(xiàn)。

然而，我們可以有一個(gè)相當(dāng)有力的理由來支持這個(gè)看起來不太可能的論題。它源自于一種形式化的趨勢(shì)，這種趨勢(shì)始于歐幾里德，隨著非歐幾何的發(fā)現(xiàn)（作為形式系統(tǒng)，和上帝賦予的歐氏幾何一樣，是一致的幾何學(xué)），以及發(fā)現(xiàn)樸素集合論中悖論時(shí)的絕對(duì)絕望，這種混亂成為了一個(gè)緊迫問題。大衛(wèi)·希爾伯特開創(chuàng)的形式主義對(duì)這種情況的回應(yīng)，恰恰是要清空數(shù)學(xué)的任何語義內(nèi)容，辯稱這些不必要的語義，是困難的根源。實(shí)際上，這把所有的數(shù)學(xué)變成了一種游戲，在這種游戲中，無意義的符號(hào)按照（一種有限的）任意語法規(guī)則來處理。事實(shí)上，希爾伯特形式主義的全部意義，在于創(chuàng)造一個(gè)除了語法以外什么都沒有的系統(tǒng)。

圖6. 大衛(wèi)·希爾伯特；斯蒂芬·科爾·克萊尼

或許，這種形式主義計(jì)劃最清晰的陳述是由克萊尼給出的[3]：

這一步（公理化）將不會(huì)完成，直到所有的未定義的性質(zhì)或理論的技術(shù)性術(shù)語已表示成公理，它們對(duì)命題的推演是重要的。然后應(yīng)該有可能應(yīng)用演繹法，把技術(shù)術(shù)語當(dāng)作沒有意義的單詞。因?yàn)?，說它們對(duì)于定理的推導(dǎo)具有必要的意義，而不是說它們是從支配的公理中衍生出來的，就等于是說，對(duì)于定理演繹至關(guān)重要的屬性還未完全表達(dá)為公理。當(dāng)技術(shù)性術(shù)語的含義因此被忽略了，我們就達(dá)到了形式公理學(xué)說的立場(chǎng)……因?yàn)槲覀円呀?jīng)完全從內(nèi)容中抽象出來，只留下形式，我們說原始理論已經(jīng)形式化了。在這種結(jié)構(gòu)中，理論不再是一個(gè)有意義的命題系統(tǒng)，而是一個(gè)作為詞序列的句子系統(tǒng)，這些詞序列依次是字母序列。我們只是參照形式來說，哪些單詞組合成句子，哪些句子是公理，哪些句子是其他句子的直接后果。

顯然，這里的想法是，總是可以用語法替換語義（“意義”），從而在邏輯上沒有信息丟失；任何涉及語義的推理，在形式化中都有純粹的語法映像。

在這樣的一個(gè)形式系統(tǒng)中，我們首先認(rèn)為公理是真的。這種真的概念是可傳遞的；如果公理為真，那么通過將系統(tǒng)的推理規(guī)則應(yīng)用于它們而獲得的符號(hào)序列也是如此；因而，真從公理傳遞到定理。到目前為止，我們從來不需要從外部引入“真”的概念到系統(tǒng)中，就像從前一樣；我們只是在推演的過程中構(gòu)造真的命題（定理）。

哥德爾著名的定理[1]中所包含的麻煩，源自于試圖將這種內(nèi)部真理的構(gòu)造性概念與形式主義中預(yù)先賦予的外部真值進(jìn)行比較；正如哥德爾所示，它們并不匹配。此外，看待圖靈可判定性定理[2]的一種方式是，在給定的形式化中，沒有內(nèi)部推理機(jī)制來判定一個(gè)命題是否是一個(gè)定理（即，是真的）。

圖7. 哥德爾不完備性定理最早于 1930 年 9 月在柯尼斯堡大學(xué)的一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議上發(fā)表

因此，我們知道，形式主義計(jì)劃，其中只有純粹的語法推論是允許的，是過于貧乏的，甚至不足以支撐數(shù)論。也就是說，我們要么允許一些“非形式”的推理過程進(jìn)入我們的系統(tǒng)，根據(jù)哥德爾定理，這些過程甚至在原則上都不能簡化為語法；要么永遠(yuǎn)把我們自己限制在數(shù)論的片段中。這種“非形式”的推理過程是邱奇論題所不允許的，它們是無效的。

讓我們用更熟悉的術(shù)語來討論上述問題。在普通（“柏拉圖式”）數(shù)學(xué)中，它同時(shí)具有語法和語義的方面，我們知道，如果我們給定一個(gè)集合 S ，通過規(guī)范結(jié)構(gòu)可以從S 構(gòu)造出許多其他集合。例如，我們有冪集 2S ，我們有 S 生成的自由代數(shù)結(jié)構(gòu)（半群， 群等），我們有從 S 到 S 的所有映射的集合 H(S, S) ，我們有笛卡兒積 S × S ，等等。這些相關(guān)的集合賦予我們推理能力，這些能力具有邏輯關(guān)系的力量，但這些支配 S 的數(shù)學(xué)系統(tǒng)的形式推演律，并不必然有足夠的表達(dá)力。例如，如果

是一個(gè)自同構(gòu)（即 H(S, S) 的一個(gè)元素），對(duì) s ∈ S，我們可以說 Q(s) = s′ 在 s 和 s′ 之間建立了一個(gè)蘊(yùn)涵關(guān)系。但是，這種“蘊(yùn)涵”不一定與我們可以從支配系統(tǒng)的產(chǎn)生式規(guī)則中得出的結(jié)論相一致，也就是說，不必僅僅遵循系統(tǒng)的語法。如果兩者是一致的，可以說我們的Q 在系統(tǒng)中是可計(jì)算的；否則，就不是可計(jì)算的。在后一種情況下，根據(jù)邱奇論題，我們不得不說映射 Q 不是有效的。但是很明顯，如果 Q 有意義或存在，一旦它被賦予給我們，它就是有效的。

在形式系統(tǒng)的“全軟件”的世界中，我們當(dāng)然可以用任何喜歡的方式來限定自己。因此，我們可以不允許我們自己擁有任何無法表示成純粹語法項(xiàng)的自同構(gòu) Q。在這樣一個(gè)世界里，也只有在這樣一個(gè)世界里，邱奇論題才能不受限制地成立。當(dāng)然，這樣的一個(gè)形式化的世界到底是否有趣，是另一個(gè)問題。正如我們將看到的，當(dāng)我們?cè)试S“硬件”進(jìn)入我們的世界時(shí)，情況會(huì)變得更加糟糕。

在討論物質(zhì)系統(tǒng)之前，我們略談下編解碼，即把形式系統(tǒng)中的命題編碼到圖靈機(jī)的碼帶上，以及把碼帶上的內(nèi)容解碼成系統(tǒng)中的命題。很明顯，在編碼和解碼方面，我們可以按照通常的直觀意義使用“有效”一詞；例如，我們熟悉的哥德爾編碼，顯然是從語法到算術(shù)、然后再回來的有效映射。事實(shí)上，為了表明一個(gè)過程在某些形式系統(tǒng)中是有效的，或者說是遞歸的，我們可以清楚地將編碼、計(jì)算和解碼結(jié)合到一個(gè)單獨(dú)的圖靈機(jī)中，這個(gè)機(jī)器可以完成所有三個(gè)步驟。然而，我們?cè)谶@里只是記下，編碼和解碼在邏輯上彼此不同，也不同于實(shí)際計(jì)算；如果它們?cè)谀撤N意義上是“無效”的，那么邱奇論題可能會(huì)失敗，即使計(jì)算本身是完全遞歸的。

3. 蘊(yùn)涵與因果

正如我們已經(jīng)看到的，在形式系統(tǒng)的領(lǐng)域，邱奇論題辨析了“有效過程”的直覺概念與純粹的語法觀點(diǎn)下的字符串處理。也就是說，任何可以在系統(tǒng)內(nèi)“有效地”執(zhí)行的蘊(yùn)涵，都可以通過一套有限的產(chǎn)生規(guī)則來執(zhí)行，這套規(guī)則操作于從一個(gè)有限字母表中取出的有限的符號(hào)串。

圖8. 玻爾茲曼設(shè)想的由原子構(gòu)成的分子

我們還指出，當(dāng)我們?cè)谔幚砦镔|(zhì)世界時(shí)（相對(duì)于形式的數(shù)學(xué)和邏輯），蘊(yùn)涵的觀念被因果的觀念所取代。盡管如此，我們?nèi)匀豢梢员Ａ簟坝行А边^程的想法。在這種情況下，邱奇論題意味著任何因果序列都可以用相應(yīng)的遞歸過程來表示；也就是說，任何因果序列都可以用純粹的語法手段來描述。如果這是真的，它當(dāng)然會(huì)嚴(yán)重限制物理學(xué)的發(fā)展。是否自然法則本身可以表達(dá)成純粹的語法項(xiàng)？或者，是否它們可以擁有一個(gè)內(nèi)在的語義的組成部分不能被有限形式化？問題還不僅僅限于此[譯注4]。

值得注意的是，數(shù)學(xué)中的形式化（即純粹的語法）與理論科學(xué)中的類似趨勢(shì)是完全平行的。事實(shí)上，原子論（或者現(xiàn)在的“基本粒子”理論）的全部推動(dòng)力是將所有物質(zhì)過程簡化到終極組成單元的運(yùn)動(dòng)，而沒有任何內(nèi)部結(jié)構(gòu)（“意義”），只擁有瞬時(shí)位置（“構(gòu)型”）和位置的時(shí)域?qū)?shù)。推動(dòng)這些終極單元的力量是形式系統(tǒng)中的產(chǎn)生式規(guī)則的精確類比。

因此，一個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)在給定力的影響下所追蹤到的路徑或軌跡是形式定理的類比，以初始條件為公理。

物質(zhì)系統(tǒng)中事件之間的因果關(guān)系可以與描述這些事件的命題之間的蘊(yùn)涵關(guān)系相聯(lián)系的觀點(diǎn)是理論科學(xué)的必要條件。事實(shí)上，過去被稱為自然法則的信念要求：

（a）我們?cè)谕獠渴澜缰懈兄降氖录蛄胁皇侨我獾幕虍愊胩扉_的，而是受到明確規(guī)則的支配（這就是因果關(guān)系）；

（b）這些規(guī)則可以清楚地表達(dá)出來，以便人類頭腦能夠理解。

綜上所述，自然法則的這種表述精確地?cái)嘌?，物質(zhì)系統(tǒng)中的因果關(guān)系可以被引導(dǎo)到一個(gè)形式化的（終極的，數(shù)學(xué)的）命題形式系統(tǒng)的一致性蘊(yùn)涵關(guān)系中。

這種情況可以最簡潔地用圖式一來表示（參見圖9）。

圖9. 圖式一

我們說，當(dāng)以下的交換性成立時(shí)，圖表左側(cè)的自然系統(tǒng)和右側(cè)的形式系統(tǒng)之間存在一種建模關(guān)系:

①=②+③+④ (2)

也就是說，無論我們是僅僅作為觀察者坐在那里，觀察自然系統(tǒng)中事件的展開序列，還是我們

（a）將自然系統(tǒng)的某些性質(zhì)編碼到形式體系；

（b）然后利用形式系統(tǒng)的蘊(yùn)涵結(jié)構(gòu)導(dǎo)出定理；

（c）再將這些定理解碼成關(guān)于自然系統(tǒng)本身的命題（預(yù)測(cè)）

我們都得到了同樣的答案。當(dāng)圖表交換時(shí)，我們?cè)谧匀幌到y(tǒng)的因果特征和形式系統(tǒng)的蘊(yùn)涵結(jié)構(gòu)之間建立了一個(gè)一致性。我們可以說形式系統(tǒng)是自然系統(tǒng)的模型，或者說，自然系統(tǒng)是形式系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。

這些小圖表本身包含許多豐富而重要的認(rèn)識(shí)論屬性，我們不能在這里進(jìn)入；要進(jìn)行更全面的討論，請(qǐng)參閱[8]。

一旦我們建立了一個(gè)形式的系統(tǒng)，作為某種自然過程的模型，我們就離開了科學(xué)的領(lǐng)域，進(jìn)入了數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。然后，我們可以像對(duì)待其他任何形式系統(tǒng)一樣對(duì)待模型。特別是，我們可以看看它純粹的語法方面，我們可以立即辨認(rèn)出邱奇論題里的“有效”過程，并問這些過程是否耗盡了系統(tǒng)本身的蘊(yùn)涵性資源[譯注5]。

通過這種方式，我們可以構(gòu)建一個(gè)純語法的原本的自然系統(tǒng)的“機(jī)器”模型，如圖10所示。

圖10. 圖式二

我們只看外側(cè)的兩個(gè)系統(tǒng)，忘記原本的模型，這個(gè)模型現(xiàn)在在兩者間扮演一種“轉(zhuǎn)換器”的角色。

但是，當(dāng)我們這樣做時(shí)，必須明確注意以下幾點(diǎn):

（a）它們之間的編碼和解碼箭頭（圖10中的虛線箭頭）在任何形式意義上都不能被描述為有效的；

（b）這些編碼和解碼箭頭只涉及居最右的邊框中的機(jī)器的輸入和輸出字符串；

這兩個(gè)觀察結(jié)果都很重要。我們將依次簡要地討論它們。

圖11. 測(cè)量問題[譯注6]

在將邱奇論題應(yīng)用于形式系統(tǒng)時(shí)，我們注意到上述相應(yīng)的編碼和解碼箭頭本身代表形式過程，實(shí)際上可以合并到論題本身。然而，當(dāng)我們想要比較一個(gè)受因果支配的自然系統(tǒng)和一個(gè)受蘊(yùn)涵支配的形式系統(tǒng)時(shí)，情況就不一樣了。編碼工具，或轉(zhuǎn)換器，現(xiàn)在本身就是物質(zhì)系統(tǒng)；也就是說，是由因果而不是蘊(yùn)涵所支配。如上所述，它們（在最廣泛的意義上）是儀表。因?yàn)檫@些儀表受因果支配，它們所做的任何事情在物質(zhì)意義上都是有效的。但是很明顯，編碼過程的形式化需要更多的模型；這依次又需要它們自己的編碼和解碼過程，這就需要更多的模型，等等，一個(gè)無窮回歸。正是這一事實(shí)使物理學(xué)中的“測(cè)量問題”變得如此困難。這個(gè)潛在的無窮回歸是否可以在某個(gè)有限點(diǎn)終止的問題是一個(gè)關(guān)于世界本質(zhì)的深刻的認(rèn)識(shí)論問題，與還原論這樣的事物有著密切的聯(lián)系。我們當(dāng)然不能在這里進(jìn)入這樣的問題；我們只是假設(shè)從自然世界到輸入碼帶的一套儀表或其他轉(zhuǎn)換器是給定的，并且可以相對(duì)于這些編碼對(duì)邱奇論題進(jìn)行考察（然后，通過假設(shè)，編碼在物質(zhì)意義是有效的）。

我們的第二個(gè)觀察在認(rèn)識(shí)論上也很重要。它說，一個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)的所有相關(guān)特征，以及它最初被編碼進(jìn)去的模型的所有相關(guān)特征（參見圖9圖式一），都被表示為輸入字符串，由一臺(tái)其結(jié)構(gòu)本身不編碼任何東西的機(jī)器處理。也就是說，控制這些機(jī)器操作的規(guī)則，以及字符串處理系統(tǒng)本身的整個(gè)推理結(jié)構(gòu)，與被編碼的物質(zhì)系統(tǒng)毫無關(guān)系。唯一的要求是，在輸入字符串的編碼和結(jié)果輸出字符串的解碼之間保持必要的交換性，如上文第 1 節(jié)所述。正如我們將看到的，這就是模擬的本質(zhì)。

我們已經(jīng)注意到，邱奇論題相當(dāng)于斷言，所有的因果關(guān)系，可以表達(dá)成純粹的語法項(xiàng)。我們現(xiàn)在可以更明確地闡述這個(gè)命題：相對(duì)于將自然系統(tǒng)的任何特定編碼轉(zhuǎn)化為輸入字符串，字符串處理機(jī)器本身不能對(duì)物質(zhì)系統(tǒng)的任何方面進(jìn)行編碼。也就是說，機(jī)器的“硬件”必須完全獨(dú)立于生成要處理的字符串的“硬件”。如果不能做到這一點(diǎn)，那么邱奇論題就不可能是正確的。

鑒于上述，邱奇論題斷言，對(duì)所有物質(zhì)過程，圖靈機(jī)構(gòu)成了一類通用模擬器。這里有兩個(gè)問題要問：（a）這是真的嗎？（b）如果是，那意味著什么？

4. 邱奇論題在物理上是正確的嗎？

前面幾節(jié)論證的結(jié)果如下。大自然為我們提供了大量的物質(zhì)過程，我們稱之為“有效”。這些過程（我們假設(shè)）受因果支配，而不像在形式系統(tǒng)中那樣受蘊(yùn)涵或產(chǎn)生規(guī)則支配。在這樣的術(shù)語中，邱奇論題可以表達(dá)如下：給定任何如此的過程，我們可以將有關(guān)生成此過程的自然系統(tǒng)的適當(dāng)命題編碼到一個(gè)圖靈機(jī)的一組輸入碼帶上；而相應(yīng)的輸出碼帶可以被解碼，從而完美地模擬了有關(guān)的過程。同樣地，邱奇論題斷言，所有關(guān)于物質(zhì)過程的“信息”，因此所有的自然法則，都可以用純粹的語法項(xiàng)來表達(dá)。

我們從哥德爾定理中知道，足夠豐富的形式系統(tǒng)總是包含一些不能從語法上得到的推論。更具體地說，給定任何命題編碼方案，它將系統(tǒng)的命題編碼到圖靈機(jī)的輸入碼帶上，都將有系統(tǒng)的“真”的命題，它不會(huì)出現(xiàn)在任何輸出碼帶上。因此，建立這種推論為“真”的過程是無效的；它們?cè)瓌t上，不能被任何圖靈機(jī)，在給定的編碼上模擬。當(dāng)然，我們可以隨時(shí)改變編碼，但這不會(huì)改變哥德爾的結(jié)論。

因此，在形式系統(tǒng)中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)純粹的語法編碼在某種意義上會(huì)丟失信息。因此，丟失的信息必須屬于原始推理結(jié)構(gòu)中一個(gè)不可規(guī)約的、不可形式化的語義成分。通過改變編碼，我們可以在一定程度上改變這個(gè)語義信息所在的位置，但是我們不能消除它。

就其本身而言，哥德爾的這個(gè)結(jié)果與邱奇論題的物理真實(shí)性無關(guān)，因?yàn)樗且粋€(gè)純粹形式上的結(jié)果。但它實(shí)際上暗示了邱奇論題的物理源泉如何可能被證實(shí)或證偽。[譯注7]

正如我們?cè)谏厦婵吹降模覀儽容^物質(zhì)過程和形式過程的方式是通過建立建模關(guān)系，如上面圖式一（圖9）所示。物質(zhì)系統(tǒng)的形式化模型是非常好的形式系統(tǒng)，其推理結(jié)構(gòu)從定義上反映了被建模的自然系統(tǒng)中的因果過程。因此，如果一個(gè)模型，以這種方式產(chǎn)生，應(yīng)該屬于哥德爾論證的范圍，這將至少是強(qiáng)有力的證據(jù)，證明邱奇論題，作為一個(gè)物理命題，是虛假的。換句話說，應(yīng)該會(huì)存在這樣的物理過程，它們可以有效計(jì)算非遞歸函數(shù)。這也意味著自然法則不能完全用語法項(xiàng)來表達(dá)。

因此，顯而易見要尋找的是一個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)的模型，它作為一種形式體系豐富到可以“做算術(shù)”。不幸的是，物理學(xué)以純物理系統(tǒng)的模型而提供的形式體系，僅僅作為形式系統(tǒng)來考慮，是極其貧乏的。但是，正如我們?cè)谄渌胤剿鶢幷摰?，這些形式體系事實(shí)上是高度非通用的，不足以描繪像有機(jī)體這樣的物質(zhì)系統(tǒng)[9]。表達(dá)這種非通用性的一種方式恰恰在于它們刻畫因果結(jié)構(gòu)的方式。每當(dāng)這種非通用性被移除一次，一類新的（潛在）模型就被提出了，其中因果結(jié)構(gòu)的刻畫就更加豐富至極，也更加復(fù)雜。因?yàn)?，正是因果結(jié)構(gòu)的形式化刻畫是邱奇論題的核心，我們可能會(huì)在這些形式體系中發(fā)現(xiàn)許多因果有效的過程，但在數(shù)學(xué)上是無效的。這就意味著這些系統(tǒng)的行為必須包含一個(gè)不可約的語義成分，一個(gè)與系統(tǒng)的復(fù)雜性密切相關(guān)的成分。

約翰·米希爾很久以前就采取了不同的方法[10]。他能夠證明，模掉一些理想化的測(cè)量和性能公差[譯注8]，已經(jīng)有經(jīng)典的模擬設(shè)備（模擬計(jì)算機(jī)），可以“計(jì)算”非遞歸函數(shù)。這樣的系統(tǒng)將因此已經(jīng)表現(xiàn)出任何純粹的語法編碼無法預(yù)測(cè)的行為，因此也將有一個(gè)不可規(guī)約的語義內(nèi)容。

最后，我們已經(jīng)提到，牛頓粒子力學(xué)，以及最近基于基本粒子的統(tǒng)一物理理論，本身就是一種試圖用純語法項(xiàng)來表達(dá)自然法則的嘗試。由于任何物質(zhì)系統(tǒng)都是由這些“無意義”（即無結(jié)構(gòu)）的基本單元組成的，這些理論本質(zhì)上斷言，要理解任意這樣系統(tǒng)的任何行為，用這些子單元及其相互作用來描述它就足矣。如前所述，這就是還原論的本質(zhì)。

從這方面來講，熟悉的拉普拉斯精靈就是一個(gè)純粹的語法概念：如果他可以存在的話，就是邱奇論題的體現(xiàn)。[譯注9]事實(shí)上，由于我們已經(jīng)指出的原因，他不可能存在（或者至少不可能作為一個(gè)由粒子構(gòu)成的物質(zhì)系統(tǒng)存在）。但是即使他能夠存在，他也是一個(gè)非常糟糕的生物學(xué)家，例如，有機(jī)體和一般的開放系統(tǒng)，都在不停的傳遞交換它們的組成粒子。因此，即使要找到一個(gè)有機(jī)體，更不用說及時(shí)跟蹤它，他也需要用系統(tǒng)內(nèi)不可形式化的其他（語義）信息來補(bǔ)充純粹的語法信息。

因此，由于種種原因，我們有理由相信邱奇的命題作為一個(gè)物理命題是失敗的。然而，正如我們已經(jīng)看到的，從物質(zhì)方面去陳述和分析邱奇論題，涉及到理論科學(xué)的一些最深刻和最基本的方面。

5. 模擬的角色

我們已經(jīng)在上面提到了圖靈機(jī)的使用，它既是對(duì)物質(zhì)世界的隱喻，也是對(duì)那個(gè)世界的有效描述。在這兩種情況下，雖然以不同的方式，我們?cè)噲D從純粹的語法形式中得出關(guān)于物質(zhì)過程的結(jié)論。在最后一節(jié)中，我將非常簡要地考慮一個(gè)著名的例子：馮·諾依曼的“自復(fù)制自動(dòng)機(jī)”[7][11]。

馮·諾依曼論證的基礎(chǔ)是根據(jù)圖靈關(guān)于通用模擬器（計(jì)算機(jī)）的論證推斷“通用構(gòu)造器”的存在。在純形式方面，馮·諾依曼構(gòu)建了一個(gè)由互通圖靈機(jī)組成的宇宙（“元胞空間”），這些機(jī)器排列成規(guī)則的幾何陣列，就像多細(xì)胞生物中的細(xì)胞，或者大腦中的神經(jīng)元，或者晶體中的原子。每臺(tái)機(jī)器都與數(shù)組中最近的鄰居通信。按照顯而易見的方式，陣列作為一個(gè)整體在時(shí)間上改變“狀態(tài)”。問題是一些子陣列（“鋪嵌自動(dòng)機(jī)”）能否在其補(bǔ)上誘導(dǎo)出某些有趣的行為，這些行為可以解釋為構(gòu)造、復(fù)制、增長、發(fā)展、進(jìn) 化等等。

同時(shí)，馮·諾依曼清楚地相信“通用構(gòu)造函數(shù)”可以作為硬件存在。他設(shè)想給圖靈機(jī)配備傳感器，這樣它就可以“讀取”藍(lán)圖，并配備效應(yīng)器，這樣它就可以從周圍環(huán)境中提取物理組件，并按照被讀取的藍(lán)圖的指示組裝它們。（在這個(gè)上下文中，“效應(yīng)器”是從數(shù)字到實(shí)物的轉(zhuǎn)換器，也即，逆量具[校者注10]）這里的想法是—計(jì)算和構(gòu)造都是算法過程，因此任何對(duì)其中一個(gè)真實(shí)的事物都必須對(duì)另一個(gè)真實(shí)。

馮·諾依曼還認(rèn)為元胞空間不僅僅是形式上的構(gòu)造，實(shí)際上還包含了真實(shí)世界的構(gòu)造器和它行為的模型。在這一點(diǎn)上，他默認(rèn)了邱奇論題的最強(qiáng)形態(tài)。

我們已經(jīng)在其他地方[8]論證，根據(jù)因果關(guān)系，從一個(gè)形式的通用計(jì)算機(jī)的存在導(dǎo)出一個(gè)物質(zhì)的通用構(gòu)造器的任何推論都是沒有根據(jù)的。在這個(gè)論證中，我們基本上表明，沒有內(nèi)在的方法可以區(qū)分那些編碼了“真實(shí)世界信息”的輸入字符串和那些沒能編碼的輸入字符串。因此，沒有辦法區(qū)分可以聲稱模擬“真實(shí)世界”進(jìn)程的計(jì)算和沒有實(shí)現(xiàn)這種模擬的計(jì)算。

于是，我們也可以看到，邱奇論題的虛假性意味著物質(zhì)過程的某些方面不能被任何給定的編碼來形式化。因此，存在（a）沒有物質(zhì)對(duì)應(yīng)物的形式構(gòu)造，反之，（b）沒有形式對(duì)應(yīng)物的物質(zhì)構(gòu)造。因此，在這兩個(gè)方面，馮·諾依曼的論點(diǎn)都沒有實(shí)質(zhì)內(nèi)容， 僅僅涉及到“自動(dòng)機(jī)”（或“機(jī)器”）和“構(gòu)造”這兩個(gè)術(shù)語常見的模棱兩可。

這些考慮表明，不受限制地從形式系統(tǒng)外推到物質(zhì)系統(tǒng)是多么危險(xiǎn)。危險(xiǎn)恰恰產(chǎn)生于這樣一個(gè)事實(shí)，即計(jì)算只涉及模擬，這使得在物質(zhì)系統(tǒng)中的因果過程和模擬器中的推理過程之間可以建立不一致。因此，我們恰恰缺乏這種外推所需的編碼和解碼的基本特征。于是，盡管形式化模擬具有重要的實(shí)用價(jià)值和啟發(fā)性價(jià)值，但它們的理論意義卻受到嚴(yán)格限制，使用時(shí)必須格外謹(jǐn)慎。

當(dāng)然，在這個(gè)簡短的篇幅里，我們無法觸及邱奇論題的許多其他分支。正如我們已經(jīng)看到的，它的主要作用是將形式系統(tǒng)中的語法部分和非語法部分區(qū)分開來；當(dāng)形式系統(tǒng)也是物質(zhì)系統(tǒng)的模型時(shí)，邱奇論題對(duì)因果關(guān)系也做了同樣的事情。事實(shí)上，這篇論文提出了一系列關(guān)于自然法則、因果關(guān)系、建模以及形式系統(tǒng)的物質(zhì)實(shí)現(xiàn)的深刻問題。它的中心特征是圖靈機(jī)，將語法或字符串處理的本質(zhì)體現(xiàn)在一個(gè)單一的、概念豐富的包中。即使（我相信）邱奇論題失敗了，它也是以一種最富教育意義的方式失敗的。它對(duì)物質(zhì)科學(xué)，尤其是生物學(xué)的影響，還沒有開始探索。

參考文獻(xiàn)

[1] K. G?del, “über formal unentscheidbare s?tze der principia mathematica und verwandter systeme i,” Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 38, pp. 173–198, 1931.

[2] A. Turing, “On computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem,”

Proceedings of The London Mathematical Society, vol. 41, pp. 230–265, 1937.

[3] S. C. Kleene, “Introduction to metamathematics,” 1952.

[4] M. Davis, “Computability and unsolvability,” in McGraw-Hill Series in Information Pro- cessing and Computers, 1958.

[5] R. Rosen, “Church’s thesis and its relation to the concept of realizability in biology and physics,” The Bulletin of mathematical biophysics, vol. 24, pp. 375–93, 1962.

[6] R. Rosen, “Principles of measurement,” 1978.

[7] J. V. Neumann and A. W. Burks, Theory of Self-Reproducing Automata. USA: University of Illinois Press, 1966.

[8] R. Rosen, “Anticipatory systems,” 1985.

[9] R. Rosen, “Biology and physics: an essay in natural philosophy,” 1985.

[10] J. Myhill, “Creative computation revisited,” 1966.

[11] M. Arbib, “From universal turing machines to self-reproduction,” 1988.

注釋：

1譯注：即[1]

2譯注：McCulloch, W. and W. Pitts. “A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity.”Bulletin of Mathematical Biology 52 (1943): 99-115.

3譯注：即[2]

4譯注：“問題絕不僅僅限于此”的其中一個(gè)問題，在本節(jié)結(jié)尾處點(diǎn)明，是指“圖靈機(jī)構(gòu)成通用模擬器是否在物理上成立？”

5譯注：我們?cè)谟懻摂?shù)學(xué)論證的時(shí)候，常常有，條件里信息是否都在論證過程中被充分利用了，諸如此類的說法；作者在本文中也提到了編碼、解碼過程中的信息。譯者和校者討論后認(rèn)為，此處的蘊(yùn)涵性資源這一提法，就是對(duì)編碼、推演、解碼過程中信息流動(dòng)的另外一個(gè)說法，在此信息可以被視為一種資源。信息蘊(yùn)含在物質(zhì)過程里，形式化的過程體現(xiàn)為編碼，把它們捕捉到并納入形式推理。

6譯注：國際單位制 2019 年修訂版中基本單位和物理常數(shù)之間的關(guān)系可以為本文的這段描述做注腳， 圖中的箭頭表明了一個(gè)單位在定義過程中會(huì)用到哪些其他的單位和常數(shù)，這種建模的依賴在本文中有清楚地表達(dá)。但圖中的 7 個(gè)基本單位和 7 個(gè)常數(shù)之間依賴關(guān)系構(gòu)成一個(gè)封閉集，或可值得進(jìn)一步思考。

7譯注：稍近一些的綜述文獻(xiàn)有 2007 年的 Church’s Thesis after 70 Years, edited by A. Olszewski et al. ，網(wǎng)上對(duì)此文獻(xiàn)有不一的評(píng)論；在 StackExchange 上可以見到更多樣的討論；2019 年 B. Jack Copeland 和Oron Shagrir 在 CACM 撰文 The Church-Turing Thesis: Logical Limit or Breachable Barrier? 可供參考。

8譯注：本段的翻譯存疑，因?yàn)槊紫柕恼撐氖?1960 年代美國空軍的技術(shù)報(bào)告，無法下載并參照。

9譯注：拉普拉斯精靈、決定論和自由意志是一個(gè)長久討論的話題。作者在此用追蹤一個(gè)和環(huán)境交互的有機(jī)體這個(gè)任務(wù)去否證決定論，David Wolpert 有用康托爾的對(duì)角線法則去否證的思路，或可參考。

10校者注：原文為inverse meter，因?yàn)榱烤邽閷?shí)物到數(shù)字的轉(zhuǎn)換，故此作者生造了一個(gè)詞，來表達(dá)數(shù)字到實(shí)物的轉(zhuǎn)換。

圖片引用說明

除了聲明之外，本文正文里所有圖片均引維基媒體共享資源計(jì)劃。

圖9 引自原始論文里的圖式一，圖10 引自原始論文里的圖式二，兩圖用漢語重新制作。

皮茨和麥卡洛克的合照引自 Moreno-Díaz, R. and Arminda Moreno-Díaz. “On the legacy of W.S. McCulloch.”Bio Systems 88 3 (2007): 185-90 .

譯后小記

大約八年前，在參與集智周末計(jì)算和物理的研讀活動(dòng)的時(shí)候，就發(fā)現(xiàn)了 Robert Rosen 的這篇《有效過程與自然法則》寫得很特別，非常富有洞見。但因?yàn)槲恼掠行┮馑枷鄬?duì)曲折，讀起來也有些困難，于是就產(chǎn)生了通過翻譯來學(xué)習(xí)這篇文章的想法。說這篇文章特別，是因?yàn)橛?jì)算機(jī)科學(xué)從 1930 年代開始，已然長成參天大樹，學(xué)科的各個(gè)分支枝繁葉茂，發(fā)表的文章不計(jì)其數(shù)，但少有深入到學(xué)科源頭去探討一番的文章。也正因?yàn)槿绱耍@篇富有哲理的文章也常讀常新。

舉例來說，在文章的引言，作者把 McCulloch 和 Pitts 的工作與 G?del 的發(fā)現(xiàn)并列， 這里面的意味頗值得思考。從文章內(nèi)容冒昧揣測(cè)，他作為生物學(xué)家的特有視角發(fā)揮了作用，盡管當(dāng)時(shí)是 AI 寒冬，他仍然把 McCulloch 等人工作寫入。不過由于時(shí)代的局限，羅森并沒有把這部分工作的重要做充分的展開。今天，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、深度學(xué)習(xí)獲得了極大的發(fā)展，大家都意識(shí)到了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在工程實(shí)踐方面的重要，但如何從理論上申明羅森的視角的有趣之處呢？

和羅伯特·羅森做的一樣，讓我們?cè)囍氐皆搭^。在學(xué)科源頭，“學(xué)習(xí)”是一個(gè)可以和“計(jì)算”并列的理論題目。從 1967 年E. Mark Gold 的經(jīng)典論文Language identification in the limit 起，這一分支開始發(fā)展，后經(jīng)Leslie Valiant 的 PAC 理論開始成型。但我想提及一篇少為人知的重要論文，1996 年 R. Lathrop 在 ICML 上發(fā)表了 On the Learnability of the Uncomputable ，論文表明通過分析程序運(yùn)行的時(shí)空行為，在概率意義上停機(jī)問題可學(xué)習(xí)。論文在可計(jì)算性和可學(xué)習(xí)性之間給我們找到了一塊落腳石，同時(shí)論文的分析方法和算法信息論（AIT）里 Chaitin 常數(shù) ? 的漸進(jìn)可計(jì)算性似乎有更進(jìn)一步的聯(lián)系。我們或許可以沿著可學(xué)習(xí)性這條小徑重新思考羅伯特·羅森的所思所想。

去年起，我利用零零散散的時(shí)間，開始了這個(gè)翻譯。在朋友們的鼓勵(lì)之下，今天終于把本文翻譯完畢。最后，對(duì)集智和混沌巡洋艦幾位小伙伴多年的支持，以及楊文波同學(xué)的校讀，在此一并表示感謝。

2021 年 5 月

明理

術(shù)語列表

不可計(jì)算 non-computable. 3

測(cè) 量 measurement. 4

測(cè)量問題 the measurement problem. 11

產(chǎn)生規(guī)則 production rule. 3

觀 察 observation. 4

觀察者 observer. 9

哥德爾編碼 G?del numbering. 8

公 理 axiom. 6

公理化 axiomatization. 6

建模關(guān)系 modeling relation. 9

可復(fù)現(xiàn) repeatable. 4

可計(jì)算 computable. 5

科學(xué)實(shí)驗(yàn) experiment in science. 4

邏 輯 關(guān) 系 logical relation. 7

邏輯推理 logical inference. 5

邏輯學(xué) logic. 2

模 擬 simulation. 11

模擬計(jì)算機(jī) analog computer. 13

模擬設(shè)備 analog device. 13

命 題 proposition. 3, 6

邱奇論題 Church Thesis. 3

人工智能 Artificial Intelligent. 3

軟 件 software. 3

算 法 algorithm. 3

事 件 event. 4

事件序列 sequences of event. 4

神 諭 oracle. 3

數(shù)字計(jì)算 digital computation. 2

數(shù)字計(jì)算機(jī) digital computer. 2

推 理 規(guī) 則 inferential rule. 6

圖 靈 機(jī) Turing machine. 2

推理鏈條 inferential chain. 3

物質(zhì)過程 material process. 2

物 質(zhì) 事 件 material event. 4

物質(zhì)系統(tǒng) material system. 3

物質(zhì)現(xiàn)象 material phenomena. 3

形 式 formal. 6

形式化 formalization. 2

形式理論 formal theory. 3

形式主義 formal arithmetic. 6

形式系統(tǒng) formal system. 5

形式主義 Formalism. 5

語 法 syntactics. 5

語法規(guī)則 syntactical rule. 6

語法項(xiàng) syntactic term. 5

因果關(guān)系 causal relation. 4

因果序列 causal sequence. 4

蘊(yùn)涵關(guān)系 implication relation. 4

蘊(yùn)涵性資源 implicative resource. 10

硬 件 hardware. 3

有效過程 effective process. 3

語 義 semantics. 5

語義內(nèi)容 semantic content. 5

字符串處理 string processing. 5

轉(zhuǎn)換器 transducer. 10

（術(shù)語列表可上下滑動(dòng)查看）

圖12. 術(shù)語的共現(xiàn)與聚類向下去探索

復(fù)雜科學(xué)最新論文

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原標(biāo)題：《經(jīng)典回顧：有效過程與自然法則》

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